平面内任意一小于180度的∠MAN如图，AS平分∠MAN，直线BC分别交半直线AM、AN、AS于B、C、D，则：AB/BD=AC/CD：

证明: 作BE=BD交半直线AS于E，如图1：

∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE，∴∠AEB=∠BDS,

又∵∠BDS=∠ADC, ∴∠AEB=∠CDA,

又∵∠BAE=∠CAD,

∴△AEB∽△ADC,

∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.

另外的情况，如图2，直线BC交AN的反向延长线于C;

如图3，直线BC交AS的反向延长线于D,此时，仍有AB/BD=AC/CD

证法与图1类似

性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等

【角平分线定理】角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。

【角平分线逆定理】到角两边的距离相等的点在角平分线上。