简介

特性

简介

交比（cross ratio）

射影几何学中基本的射影不变量之一。一般是用共线的四个点来定义的，亦称之为调和比。早在古希腊，数学家和天文学家就注意到这一比值的特性。约公元100年，门内劳斯在《球面学》中用到了球面上的大圆弧相交的一个性质，类似于截线的交比不变性，用圆弧所对角的正弦比值来表示。公元4世纪，帕波斯在《数学汇编》中明确阐述了一种交比的性质：设有四条线交于一点，则从一条线上的一点出发的截线所截点之间的交比相等。到19世纪，施泰纳、施陶特等数学家已将交比作为他们的射影几何理论的基本工具，证明了四个共线点的交比在射影变换下不变的特性。

特性

点列交比的公理化定义，共线四点A,B,C,D的齐次坐标分别为a,b,a+xb,a+yb,(A≠B),记（AB|CD）表示这四点构成的交比。定义为，（AB|CD）=x/y.点偶AB叫做基点对，点偶CD叫做分点对。

若四点齐次坐标分别为a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以证明，(AB|CD)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]。其初等几何意义为（AB|CD）=(AC*BD)/(BC*AD),注意右边的线段长度是有向的。

交比具有射影不变性。

证明此性质，需要引入线束交比。类比点列交比的定义，我们可以自然的引入线束交比的定义。共点四线a,b,c,d,的齐次坐标为a,b,a+xb,a+yb，(a≠b).记（ab|cd）表示这四线构成的交比。定义为，

(ab|cd)=x/y.同样的，我们有：若四线齐次坐标分别为a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以证明，(ab|cd)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]（1）。引入线束交比的初等几何意义，我们可以从我们熟知的直角坐标系入手。设pi（i=1,，2，3，4）为一线束，记其斜率为ki,倾角为ai,有（1）式可得，（p1p2|p3p4）=[(k1-k3)(k2-k4)]/[(k2-k3)(k1-k4)]=[(tana1-tana3)(tana2-tana4)]/[(tana2-tana3)(tana1-tana4)]=[sin(a3-a1)*sin(a4-a2)][sin(a3-a2)*sin(a4-a1)]=[sin(p1p3)sin(p2p4)]/[sin(p2p3)sin(p1p4)].注：(p1p2)表示p1到p2的角，是有向的。

证明：交比是射影不变量。

证明（初等几何的证明）：令线束O(a,b,c,d)分别交l于ABCD。(AC*BD)/(BC*AD)=(S△OAC*S△OBD)/(S△OBC*S△OBD)=[sin(ac)*sin(bd)]/[sin(bc)*sin(ad)].又考察各对应有向量方向相同，故原式成立。

由此可知，点列的交比与其对应线束的交比是相同的。保持线束不变，取另一直线l'交线束与A'B'C'D'.可视为对l作射影变换，（AB|CD）=（A'B'|C'D'）,由此说明交比是射影不变量。

上述说明在欧式平面内存在诸多漏洞，例如若p1//l,则没有交点。但是，在射影几何完整的公理化体系中有无穷远点和无穷远直线，拓广实数集等无穷元素来“弥补”。而这些元素更是射影几何的精华。

如上是对交比的说明，接近其公理化定义。

补充：若交比为-1，则称为调和比。以点列ABCD为例，称此为调和点列，也称点偶AB,CD相互调和共轭（调和分离），或称D为ABC的第四调和点。

同样，我们还可以定义圆锥曲线上四个点的交比。对于一条圆锥曲线C,任取上面一个点P,那么对于C上另外四个点，线束P(A,B,C,D)的交比取值同P的选取无关.于是，这个交比可以定义为圆锥曲线C上四点A,B,C,D的交比，同样可以极为(AB|CD). 反之，我们也可以采用这里的交比不变性作为圆锥曲线C的定义，也就是给定平面四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线，那么使得线束P(A,B,C,D)的交比取常数的P点轨迹是一条圆锥曲线。