直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端性原则。

应用领域

极端性原理(1．最小数原理、最大数原理 2．最短长度原理)

典型例题

应用领域

数字必须绝对准确为其特征的数学，也常常要在极端的条件下使用数字，当然那不是一种“容许”的夸张，而是要在如果“不容许”的情况下，看它会发生什么后果，以帮助我们发现问题的本质。数学家在解决数学问题时，经常要先从下面一些角度考虑问题：诸如“假如一个都没有”、“假如每一个都有”、“假如每一个至少有”、“假如每一个最多有”、“如果只有唯一的一个”、“如果是最特殊(如最大、最小、最长、最短、最多、最少、最左、最右等等)的一个”等极端情况，在这种极端的状态下，往往能使问题的关键暴露出来，帮助我们找到解题的途径。这种思想，在数学中称为极端原理。

极端性原理

用极端原理解题，就是在解决相关数学问题时，重点放在所研究问题的极端情况。这是因为矛盾的普遍性往往存在与特殊性质中，所涉及问题的结论也往往蕴含在极端情况之中。

1．最小数原理、最大数原理

命题一 有限个实数中，必有一个最小数(也必有一个最大数)．

命题二 无限个正整数中一定有最小值。

命题三 无限个实数中一定有最大数最小数，但是数值未知。

对于自然数集，有

最小数原理 若M是自然数集N的任一非空子集(有限或无限均可)，则M中必有最小的数．

2．最短长度原理

最短长度原理1：任意给定两点，所有连接这两点的线中，以直线段的长度为最短；

最短长度原理2：在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有线中，以垂线段的长度为最短。

典型例题

（一）考虑问题的极端情形：

引例：平面上有n个(n≥3)点，任三点不共线，证明：存在3点A、B、C，使其余n－3个点都在△ABC外面．

例1 求证：在四面体ABCD中，必有某个顶点，从它发出的三条棱作为三边可以构成一个三角形。

例2 给出平面的一个有限点集，点集中的点不全在一条直线上．证明：存在一条直线，只经过点集中的两个点．

例3 平面上有n个红点与n个蓝点，任意三点都不共线．求证：可以用n条线段连结这2n个点，每条线段连结一个红点与一个蓝点，且这n条线段没有公共点．

例4 有n(n³3)个排球队参加单循环赛 (排球赛的每场都要分出胜负) ，比赛结束后，发现没有一个队全胜．求证：必存在三个队A，B，C，使A胜B，B胜C，C又胜A．

例5 有n个男生，m个女生（n，m>1），每一个男生至少与一个女生彼此相识，每个女生不全认识n个男生，证明：他们当中，必有两个男生和两个女生，其中每个男生恰好认识其中一女生，其中每个女生恰好认识其中一男生。

（二）逐步调整法

例6 一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们先每人任取偶数块糖，然后按下列规则调整：所有小孩同时把自己手中的糖分一半给右边的小孩，糖块变为奇数的人向老师要1块糖．这算一次调整．证明：经过有限次调整后，大家的糖就变得一样多了．

（三）无穷递降法

例7 若干个球装在2n+1个口袋中，如果任意取走1袋，总可以把余下的2n袋分成两组，每组n袋，并且这两组的球的个数相等．证明：每个袋中的球的个数都相等．

例8 试求方程x3－2y3－4z3=0的所有整数解．

例9 设正整数n ，m满足n>m，证明：存在 的一种不等的倒数分拆，既存在自然数n1<n2<……<nk，使得 。

（四）构造法与极端性原理

例10 求最大的整数A，使对于由1到100的全部自然数的任意一排列，其中都有10个位置相邻的数，其和大于或等于A。

例11 若平面上有997个点，如果每两点连成一条线段，且中点染成红色．证明：平面上至少有1991个红点，你能找到恰有1991个红点的特例吗？

（五）反证法与极端性原理

例12 设a是大于1的自然数，求证：a的所有正因数中，至少有一个是质数．

例13 设f(n)是定义在自然数集上且取自然数值的严格单调递增函数，f(2)=2，当m，n互质时，有f(mn)=f(m)f(n)，求证：对一切自然数n，有f(n)=n。

（六）几个例题

例14 已知 ， ，…， 与 ， ，…， 是2n个数，且 2+ 2+…+ 2=1， 2+ 2+…+ 2=1，求证： ， ，…， 中存在一个值一定不大于1。

例15 求证：单位长的任何曲线能被面积为 的闭矩形覆盖。（美国普特南数学竞赛题，1963年）