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词条 积分第二中值定理
释义

内容

设f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调,

则存在ξ∈[a,b],使得

∫(a,b) f(x)g(x)dx

= g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(ξ,b) f(x)dx

证明

这个定理的推导比较复杂,牵扯到积分上限函数:Φ(x) = ∫f(t)dt(上限为自变量x,下限为常数a)。以下用∫f(x)dx<a,b>表示从a到b的定积分。

首先需要证明,若函数f(x)在[a,b]内可积分,则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明:给x一任意增量Δx,当x+Δx在区间[a,b]内时,可以得到

Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt<a,x+Δx> = ∫f(t)dt<a,x> + ∫f(t)dt<x,x+Δx>

= Φ(x) + ∫f(t)dt<x,x+Δx>

Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt<x,x+Δx>

应用积分中值定理,可以得到

Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx

其中m<=μ<=M,m、M分别为f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值,则当Δx->0 时,Φ(x+Δx) - Φ(x)->0,即

lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0(当Δx->0)

因此Φ(x)为连续函数

其次要证明:如果函数f(t)在t=x处连续,则Φ(x)在此点有导数,为

Φ'(x) = f(x)

证明:由以上结论可以得到,对于任意的ε>0,总存在一个δ>0,使|Δx|<δ时,对于一切的t属于[x,x+Δx],|f(t)-f(x)|<ε恒成立(根据函数连续的ε-δ定义得到),得

f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε

由于t属于[x,x+Δx],因此m<=f(t)<=M(m、M的意义同上),由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x,x+Δx]时恒成立,因此得到

f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε

由于m<=μ<=M(μ的意义同上),可以得到

f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε

即|μ-f(x)|<=ε

由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx,可以得到,当Δx->0时,

Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)

命题得证。

由以上可得,Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数,得到

Φ(x)=F(x)+C

当x=a时,Φ(a)=0(由定义可以得到),此时

Φ(a)=0=F(a)+C

即C=-F(a)

得到

Φ(x)=F(x)-F(a)

则当x=b时,Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>,得到

Φ(b)=∫f(x)dx<a,b> = F(b)-F(a)

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更新时间:2024/12/23 18:03:40