一般地, 对于数学对象X, 我们可定义复数列{\\lambda_X(n)\\}_{n=1}^{\\infty}, 形如

L(s, X)=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\lambda_X(n)}{n^s}, Res>1

且有Euler乘积的Dirichlet级数, 我们称其为关于X的L-函数.

1, L-函数的来源

一般地说, L-函数来源由两类组成: 算术L-函数和自守L-函数. 这两者又是密切联系在一起的, 根据P. R. Langlands的猜想: 笼统地说, 一切有意义的L-函数都来自自守L-函数.

算术L-函数: 简单地说, 是有算术有意义的L-函数. 例如黎曼zeta-函数, Dirichlet L-函数, Dedekind zeta-函数, 椭圆曲线的Haass-Weil L-函数, 阿廷L-函数等等.

自守L-函数: 全纯模形式的L-函数, Maass L-函数, 标准L-函数等等.

2, L-函数的研究内容

根据P. R. Langlands在国际数学家大会上的报告所指, 研究一个L-函数主要有三部分内容:

(1) 解析延拓, 函数方程: 这是最基本的一部分. 对于一般的自守L-函数这是较容易得到的, 但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的. 例如, 对于Haass-Weil L-函数, 这部分就是 Taniyama猜想, 该猜想一部分就能推出费尔马大定理. 关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题.

(2) 零点的分布: 非零区域, 黎曼猜想和广义黎曼猜想问题; 在假设黎曼猜想下, 零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等.

(3) 特殊点的值: 中心值, 临界点, 整点的值, 极点的留数等. 这里面也有很多猜想, 像BSD猜想, 类数问题, Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想. 其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekind zeta 函数在s=1处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！

3, 参考文献

(1), D. Bump, Automorphic forms and representations, Cambridge University Press, 1997.

(2), H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory, AMS, Providence, 2004.

(3), H. Iwaniec and P. Sarnak, Perspectives on the analytic theory of L-function, Special volume,

GAFA, 2000, 705-741.

(4), P. R. Langlands, L-functions and automorphic representations,Talk at Helsinki ICM, 1978.

(5), P. Sarnak, L-functions, Talk at Berlin ICM, 1998.