[编辑] 杨辉幻圆([编辑] 杨辉幻圆之构造)

[编辑] 丁易东幻圆([编辑] 丁易东幻圆的构造)

幻圆是组合数学的一个分枝，将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上数字之和相同，几条直径上的数字和也相同。著名的同心幻圆有南宋数学家杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图。

[编辑] 杨辉幻圆

杨辉《续古摘奇算法》中的攒九图以自然数1至33构成，9在圆心，其余排列在四个同心圆上，每圈8个数。杨辉幻圆有如下奇妙特点；

四条直径上数字之和是147， 28+5+11+25+9+7+19+31+12=147 四个圆周上数字之和加圆心9之和也是147。 28+27+20+33+12+4+6+8+9=147 八条半径线上数字（不包括9）之和=69 27+15+3+24=69 四个圆周上数字之和（不包括9）=八条半径线上数字和的两倍。

[编辑] 杨辉幻圆之构造

杨辉书中未曾说明幻圆的构造方法。新加坡大学兰丽蓉博士建议将八组半径数字分为两组，构成两个四阶幻方，例如；

28 5 11 25

27 15 3 24

6 32 29 2

8 17 26 18

12 31 19 7

4 21 14 30

20 16 23 10

33 1 13 22

由于这两个四阶幻方纵数横数之和都是69，只需从第一幻方和第二幻方中随意各取一行，或随意各取一列，构成同一条直径上的两对半径，一共组成四条直径，每直径8个数，最后在圆心安方9，就不但可以排出杨辉幻圆；而且可以排除许许多多不同排列的幻园。此外，由于数字的和与数字的次序无关，因此；

任何两组半径数字，可以互换位置， 8组半径数字，在可以在圆圈上任意排列， 任何两组园圈，可以互换位置。 杨辉幻圆真是富于变化。如果限制四个圆周上必须有两个同和半圆(半圆上的四个数字之和必须=69)，杨辉幻圆上的半径位置就不可调换。如此一来，杨辉幻圆可以有

8条同和半径；28+5+11+25=8，20+16+23+10=69，…… 8条同和半圆； 27+28+8+6=69，20+33+12+4：15+5+17+32=69，21+32+1+16=69…… 具有16个同和线段（和数为69）的幻圆不止一个，可依靠四个圆圈的不同排列得到，共有4x3x2=24种。

[编辑] 丁易东幻圆

南宋丁易东太衍五十图

南宋数学家丁易东是杨辉同时代人，以自然数1至49作出六同心圆幻圆，称之为太衍五十图。

丁易东幻圆特性；

各圆周数字之和为200 3+4+49+2+47+46+1+48=200; 13+14+39+12+37+36+11+38=200; …… 每圆周上的一个数与其相对点上数字之和=50； 3+47=50，13+37=50…… 四条直径上数字之和为325 据上条，6x50+25=325。

[编辑] 丁易东幻圆的构造

丁易东给出把三阶幻方洛书变化为六阶幻园太衍五十图的的奇妙方法；

将从1至49的数字分成以下9组

凡个位数为1数按大小次序排为一组：1，11，21，31，41 凡个位数为2数按大小次序排为一组：2，12，22，32，42 凡个位数为3数按大小次序排为一组：3，13，23，33，43 凡个位数为4数按大小次序排为一组：4，14，24，34，44 凡个位数为6数按大小次序排为一组：6，16，26，36，46 凡个位数为7数按大小次序排为一组：7，17，27，37，47 凡个位数为8数按大小次序排为一组：8，18，28，38，48 凡个位数为9数按大小次序排为一组：9，19，29，39，49 5及其倍数按大小次序排为一组：5，10，15，20，25，30，35，40，45 按洛书口诀：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”排列数字组：

戴九：将“9字组”9，19，29，39，49 排在最顶部，49在上，循序循半径往下排列， 履一，将“1字组”1，11，21，31，41作履，1排在最下，循序循半径往上排列， 左三：将“3字组"3，13，23，33，43排在左边， 右七，将“3字组"：7，17，27，37，47排在右边， 二四为肩，将“2字组”2，12，22，32，42，“4字组”4，14，24，34，44按络书方位排列在左上右上。 六八为足：将“6字组”6，16，26，36，46，“8字组”8，18，28，38，48按络书方位排列在左下右下。 最后“5”字组5，10，15，20，25，30，35，40，45各数对应其1/5的数字组排列在最内一个圆上： 5的1/5=1，排在“1字组” 10的1/5=2，排在“2字组”……

詹文天幻圆

今人詹文天给出的幻圆定义为：在由n个同心圆及其n条直径所分割成的2n个空格中，不重复地填入1、2、3、……、2n这些自然数，使任一圈夹的2n个数之和及任两相邻直径之间所夹的2n个数之和都相等。此时的“幻圆”称为“n阶幻圆”。（n≥2，nεN）。（注：设定圆的半径成等差数列，直径等分圆。）图1为二阶幻圆，其同一圈内的四个数之和及两直径之间所夹的四个数之和均相等，都为18。图2为三阶幻圆，其同一圈内的六个数之和及任意两相邻直径之间所夹的六个数之和均相等，都为57。

今人詹文天给出了“n阶幻圆”的填制方法，并证明了其每一圆圈内的2n个数之和及任意两相邻直径之间所夹的2n个数之和均为2n3+n。（详见詹文天:《幻圆》，载于《数学通讯》1992年第7期第32页）。

以下是四阶幻圆及五阶幻圆。其同一圈内的数字之和及任意两相邻直径之间所夹的数字之和分别为132、255。最为奇特的是十阶幻圆，其同一圈内的数字之和及任意两相邻直径之间所夹的数字之和其数字之和为2010，恰好是今年的年份。