KM算法求的是完备匹配下的最大权匹配： 在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。

解决思路(基本原理 改进 C代码)

注意

解决思路

基本原理

该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

KM算法的正确性基于以下定理：

若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是

Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

改进

以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n^4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n^2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n^3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。

Kuhn－Munkras算法流程：

(1)初始化可行顶标的值；

(2)用匈牙利算法寻找完备匹配；

(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值；

(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止；

C代码

const int maxn=20,INF=2147483647;

int w[maxn][maxn];

int lx[maxn]={0},ly[maxn]={0}; //顶标

int linky[maxn];

int visx[maxn],visy[maxn];

int lack;

bool find(int x){

visx[x]=true;

for(int y=0;y<maxn; y++){

if(visy[y])continue;

int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];

if(t==0){

visy[y]=true;

if(linky[y]==-1||find(linky[y])){

linky[y]=x;

return true;

}

}

else if(lack>t)lack=t;

}

return false;

}

void KM(){

memset(linky,-1,sizeof(linky));

for(int i=0;i<maxn; i++)

for(int j=0;j<maxn; j++)

if(w[i][j]>lx[i])

lx[i]=w[i][j]; //初始化顶标

for(int x=0;x<maxn; x++){

for(;;){

memset(visx,0,sizeof(visx));

memset(visy,0,sizeof(visy));

lack=INF;

if(find(x))break;

for(int i=0;i<maxn; i++){

if(visx[i])lx[i]-=lack;

if(visy[i])ly[i]+=lack;

}

}

}

}　KM算法和最大匹配（匈牙利算法）

2010.7.18

匈牙利算法的分析与运用：

匈牙利算法的精髓在于USED哈希数组的使用，下面是匈牙利算法的主要模块：

function find(x:longint):boolean;

var

kkk,i,j:longint;

begin

for j:=1 to m do if (line[x,j])and(not used[j]) then

begin

used[j]:=true;

if (mm[j]=0) or(find(mm[j])) then begin

mm[j]:=x;

exit(true);

end;

end;

exit(false);

end;

在原程序进行调用是也就是简简单单的一句话：

for i:=1 to n do beginfillchar(used,sizeof(used),0); if find(i) then inc(all); end;

注意

每一次找匹配时USED都是清0的，这是为了记录什么可以找，什么不可以找，说白了，这个模块就是一个递归的过程，USED的应用就是为了限制递归过程中的寻找范围，从而达到“不好则换，换则最好”，这里的最好是“新欢”中最好的。

匈牙利算法解题是极为简单的，但是图论的难并不是难在解答，而是建图的过程，也难怪会有牛曰：用匈牙利算法，建图是痛苦的，最后是快乐的。当然，我们这些◎#！◎◎也只能搞搞NOIP了，一般不会太难，所以此算法，极为好用。

KM算法：

最大流的KM算法，又算的上算法世界中的一朵奇葩了。

解决最大流问题可以使用“网络流”，但较为繁琐，没有KM来得痛快，

下面是KM算法的核心模块：

functionfind(x:byte):boolean;

var

y:byte;

begin

find:=false;

vx[x]:=true;

for y:=1to n do

if notvy[y] and (lx[x]+ly[y]=w[x,y]) then begin

vy[y]:=true;

if (aim[y]=0)or find(aim[y]) then begin

aim[y]:=x;find:=true;exit;

end;

end;

end;

可以见出，该模块与匈牙利算法极为相似，差别便是:

if not vy[y] and (lx[x]+ly[y]=w[x,y]) 判断语句了，这里涉及到KM算法的思想，不再赘述，请自行“摆渡”之。

但是在源程序的调用过程更是烦杂：

for k:=1 to n do

repeat

fillchar(vx,sizeof(vx),0);

fillchar(vy,sizeof(vy),0);

if find(k) then break; ////有机会

d:=maxn; /////没有机会

for i:=1 to n do /////创造机会

if vx[i] then

for j:=1 to n do

if not vy[j] then

if lx[i]+ly[j]-w[i,j]<d then

d:=lx[i]+ly[j]-w[i,j];

for i:=1 to n do begin

if vx[i] then dec(lx[i],d);

if vy[i] then inc(ly[i],d);

end;

until false;

总结起来便是：有机会就上，没有机会创造机会也要上！