正弦、余弦的和差化积(公式 证明过程)

正切的和差化积

注意事项

记忆方法(如何只记两个公式甚至一个 结果乘以2 只有同名三角函数能和差化积 乘积项中的角要除以2 使用哪两种三角函数的积 余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号)

正弦、余弦的和差化积

公式

指高中数学三角函数部分的一组恒等式

sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

证明过程

法1sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，

设 α+β=θ，α-β=φ

那么

α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2

把α，β的值代入，即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

法2

根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

∴等式成立

注意事项

在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次

口诀

正加正，正在前，余加余，余并肩

正减正，余在前，余减余，负正弦

反之亦然

生动的口诀：（和差化积）

帅+帅=帅哥

帅-帅=哥帅

哥+哥=哥哥

哥-哥=负嫂嫂

反之亦然

语文老师教的口诀：

口口之和仍口口 cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

赛赛之和赛口留 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

口口之差负赛赛 cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

赛赛之差口赛收 sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

另一口诀：

正和正在先，sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

正差正后迁，sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

余和一色余，cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

余差翻了天，cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

记忆方法

和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。

如何只记两个公式甚至一个

我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

而第二个公式中的-sin β=sin（β+π），也就是sin α-sin β=sin α+sin（β+π），这就可以用第一个公式解决。

同理第四个公式中，cos α-cos β=cos α+cos（ β+π），这就可以用第三个公式解决。

如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样就只记住第一个公式就行了。

用的时候想得起一两个就行了。

结果乘以2

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

cos(α-β)-cos(α+β)

=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]

=2sinαsinβ

故最后需要乘以2。

只有同名三角函数能和差化积

无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以2

在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。

使用哪两种三角函数的积

这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。

是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明。

余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号

这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。