托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

证明如下：在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD

则三角形ABE和三角形ACD相似

所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)

又有比例式AB/AC=AE/AD

而角BAC=角DAE

所以三角形ABC和三角形AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC

又因为BE+ED>=BD

所以命题得证

当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆