定义

常用勾股数组

求法

基本勾股数组的特点

定义

一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a，b的平方和等于c的平方，那么数组（a，b，c）称为勾股数组。勾股数组是人们为了解出满足勾股定理的不定方程的所有整数解而创造的概念。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

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常用勾股数组

1. （3n、4n、5n）（n是正整数）（这是最著名的一组！俗称“勾三，股四，弦五”。古人把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。）

2. （5n、12n、13n）（n是正整数）

3. （8、15、17）

4. （7、24、25）

5. （9、40、41）

6. （11、60、61）

7. （12、35、37）

8. （13、84、85）

9.（15、112、113）

10.（17、144、145）

11 (19、180、181)

12.（20、21、29）

13.（20、99、101）

14.（48、55、73）

15.（60、91、109）

求法

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分必要条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n^2-1,b=2n,c=n^2+1(n>1)，求证：∠C=90°。

此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：（6、8、10），（8、15、17），（10、24、26） 等。

再来看下面这些勾股数：（3、4、5），（5、12、13），（7、24、25）、（9、40、41），（11、60、61）…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n^2+2n、2n^2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

另外我们还可以通过理论得出推算公式为

a=m^2-n^2, b=2mn，c=m^2+n^2，

此处不作讨论。

基本勾股数组的特点

1、两直角边为一奇一偶，斜边为奇

2、斜边与偶数边之差为平方数

3、斜边与奇数边之差为平方数的2倍

4、三条边a，b，c中，两条边循环积的4次方之和为平方数，即 a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=L^2

5、三条边a，b，c的8次方之和为平方数的2倍，即 a^8+b^8+c^8=2L^2