《筭数书》是一部数学问题集。全书有近七十个题名。题名有的以计算方法命名，如“相乘”、“分乘”、“约分”、“合分”、“径分”等；也有的以该题正文中的主题词命名，如“共买材”、“狐出关”、“息钱”、“饮漆”、“税田”、“贾盐”、“粟求米”、“负炭”、“分钱”、“方田”、“囷盖”、“以圜材方”、“以方材圜”、“里田”等。该书依“题——答——术”的体例编写。

筭数书出土

社会对筭数书的关注

筭数书的编写体例

筭数书涉及的算术知识

筭数书内容简介

筭数书涉及的几何知识

相关认识(认识一 认识二 认识三 认识四)

筭数书出土

1983年12月，考古人员从湖北江陵张家山247号汉墓发掘出一批竹简，随后从中整理出一部不见于著录、早已失传的古代数学专著——《筭数书》。

与《筭数书》同时整理出来的古代文献还有《二年律令》《奏谳书》《盖庐》《脉书》《引书》“历谱”等。“历谱”所记最后一年是西汉吕后二年，即公元前186年，估计墓主死亡不会距此太远。所以，考古人员认定《筭数书》成书年代的下限是西汉吕后二年，实际成书时间应当早于此年，可能是秦代或先秦的著作。

社会对筭数书的关注

《筭数书》的出土，引起国际数学史界的注意。2002年8月15日至18日在西安举行的数学史国际会议上，来自美国的数学史专家道本（JosephW.Dauben）做了“关于《筭数书》的初步研究”的报告，美国加州大学圣迭戈分校的美籍华人科学史专家程贞一做了“《筭数书》和盈不足方法”的报告，中国的几位学者也做了有关《筭数书》的研究报告。《筭数书》的研究成为这次大会的一个讨论热点。

筭数书的编写体例

该书以“题——答——术”的体例编写。“题”，指命题，即数学问题；“答”，指解答，即对例题的解答；“术”，指由例题的解答归纳出该类问题的一般算法。全书按照内容可以分为两类：

一类是整数和分数的四则运算法则；

另一类是跟当时生产、生活实际密切相关的各种应用题及解法。如“羽矢”是有关造箭的应用题、“旋粟”是有关农业估产的应用题、“息钱”是有关借贷的应用题。依现代数学分类法，这些应用题有的属于算术问题，有的属于几何问题。考古人员认为，《筭数书》可能是秦汉官吏，尤其是负责经济管理工作的官吏学习数学知识的课本和工具书。

筭数书涉及的算术知识

《筭数书》涉及的算术知识包括整数、分数、比例、盈不足等问题。书中没有完整地叙述整数的运算，只是专门提出了整数的进位，“一乘一，十也；一乘十万，十万也；十乘十万，百万。十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万；十乘百万，千万。百乘万，百万；千乘万，千万。半乘百，五十；半乘千，五百；半乘万，五千。”其间各数全都是十进位制。十进位值制记数法简捷、明快、实用，运算方便。马克思称之为人类“最美妙的发明之一”。中国是世界上最早使用“十进位值制”记数法的国家。古代埃及采用的是“十进累计制”记数法；古巴比伦采用的是“六十进位值制”记数法；印度虽然采用的是“十进位值制”记数法，但已到了了公元6世纪。“十进位值制”记数法是中国对世界数学的卓越贡献。商周的甲骨文和钟鼎文中已有了系统的个位、十位、百位乃至万位的自然数数字，大于十的自然数都用十进位制。从殷商到战国时期，整数的加减乘除应当是很普通的算术知识，所以《筭数书》中不必再叙述了。但在“里田”的标题下，该书提出了以平方里为单位面积的土地折合成顷亩的整数简便运算方法。按照一般算法，求一平方里所合顷亩数，须先将一里化作300步，然后相乘，得若干平方步，再除以240平方步，得到亩数，计算很复杂。“里田术”提出两种解法，其一是：“里乘里，里也；广从（纵）各一里，即直一，因而三之，有（又）三五之，即为田三顷七十五亩。”用算式表示为：

1里×1里＝1平方里 （里乘里，里也。）

1平方里×3＝3 （即直一，因而三之。）

3×5×5×5＝375亩 （有（又）三五之。）

＝3顷75亩

其二是：以第一种解法的结果为基础，即一平方里等于3顷75亩，根据乘法分配律，与任何数值的平方里相乘即得顷亩数。这种“里田术”应当是秦汉管理赋税的官吏必须掌握的算术知识。

筭数书内容简介

《筭数书》全面介绍了分数的性质和运算法则，包括通分、约分、分数的括大、缩小及四则运算。有关比例的计算题约占全书内容的一半，有正比例、反比例，分配比例、连比例、复比例，包含了现代数学全部的比例类型。《筭数书》中还有三道盈不足的问题。典型例题是“分钱”，“分钱人二而多三，人三而少二，问几何人，钱几何？得曰：五人，钱十三。术曰：嬴（盈）不足五乘母，并之为实，子相从为法。皆赢若不足，子互乘母而各异直之，以子少者除子多者，余为法，以不足为实。”其解法为：（1）根据题目所给条件列成2/3，3/2；（2）分子部分各是盈，不足之数。它们交叉相乘得4和9。（3）以4＋9作被除数，以分子2＋3作除数，得13/5，此为每人分得钱数。（4）按“置所出率，以少减多，余，以约法，实”，即3－2＝1，故得钱数13，人数5。通过两次假设——盈和不足，使不能用算术方法直接求解的问题获得解答。

筭数书涉及的几何知识

《筭数书》涉及的几何知识包括面积和体积两个方面的问题。面积有9个题名，其中6个题名是有关土地面积计算的。它们是“里田”、“少广”、“启广”、“启从（纵）”、“大广”和“方田”。另外，“缯幅”，涉及面积求法；“以睘（圜）材方”和“以方材睘（圜）”是介绍圆与内接正方形与内切圆之间关系的问题。体积有6个题名。它们是“除”、“郓都”、“刍”、“旋粟”、“囷盖”和“睘（圜）亭”。它们介绍了正圆锥体、圆台体、楔形体、上、下底为矩形的长方台体等六种形状几何体体积的求解方法。这些知识应当跟战国时期筑城、挖壕、建仓和造房等工程的兴建、维修计算工作量并合理分配劳动力有关系。

相关认识

《筭数书》比传世的《九章算术》成书年代约早200年。它的出土，使我们了解到公元前2世纪，甚至更早一些时候，中国数学发展的水平和数学专著的编纂水平，形成以下几点认识：

认识一

第一，《筭数书》记录了当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法。科学的分数概念和运算法则，是中国古代数学家建立起来的。古埃及人曾有比较完整的分数形式，但由于太繁复，不便于运算。这就影响了古埃及算术的发展，后来也给希腊数学的发展设置了障碍。在希腊数学中缺乏分数约分和通分的法则，分数四则运算则更在其后。公元7世纪，系统的分数概念和运算法则才在印度流行，而欧洲还要迟得多。

认识二

第二，盈不足术在中国出现的时间不会晚于公元前2世纪。在阿拉伯和欧洲早期的数学著作中，它被称为“契丹算法”。“契丹”是当时西方和阿拉伯人对中国的称呼。由此可见，盈不足术是中国古代数学家的独创。公元9世纪阿拉伯数学家花剌子密提出双假设法比中国古代数学家的盈不足术要晚一千多年。中国的盈不足术是以比率理论为依据导出的一种算法化的演算程式。它给不明算理的人提供了可按程序操作的应用方法，把算术应用推到顶峯。

认识三

第三，《筭数书》中的题名“除”，即羡除。依魏晋之际杰出数学家刘徽的解释：羡除，“实为隧道也。”按例题所述是楔形体，其体积求解公式是中国古代数学家的首创。

认识四

第四，《筭数书》采用“题——答——术”的编纂体例具有注重实用，着眼发展，便于普及的优点。例题提出的数学问题来源于社会实践，伴随着社会实践的发展，可以不断收纳新的问题，推动数学发展。例如从春秋战国时期起，漆器逐渐兴起，到秦汉时期终于取代了青铜器。生产漆器对生漆的需要量不断加大。而漆树只能生长在黄河中游的部分地区和长江流域的部分地区，产量很有限。为了保证生漆的供应，政府在生漆产地设立漆园，派专门官吏管理。生漆要饮水，饮水的多少决定生漆的质量。法律规定，征收生漆要到官府试水、饮水。管理者必须掌握饮水的计算方法。《筭数书》中“饮漆”，就是这种测试生漆质量的计算方法。它纳入《筭数书》肯定比“方田”要晚。在解决问题的方法上，由具体事例入手，然后归纳出同类问题的一般解决办法，即“答”后面的“术”。从全书的体例结构看，它是一种开放的归纳体系。这种编纂体例直接影响着《九章算术》，并成为中国古代数学著作的传统。