定义

根轴方程

解的不同可能

相关定理

定义

在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。

根轴方程

设两圆O1,O2的方程分别为：

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)

(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)

由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y),有

(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=圆幂=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2

两式相减，得根轴的方程(即x,y的方程)为

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0

其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2类似。

解的不同可能

(1)(2)连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)

如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。

如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。

如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M,N是共轭虚点。

相关定理

1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；

2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；

3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；

4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。