整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。高次方程解法思想是通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解。对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解。

高次方程的定义

高次方程的一般形式

高次方程解法思想

高次方程根与系数的关系

伽罗华对高次方程的研究成果

四次方程解法

三次方程解法(卡尔丹公式 盛金公式)

高次方程的定义

整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。

高次方程的一般形式

高次方程的一般形式为

anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0

等式两边同时除以最高项系数，得：

anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0

所以高次方程一般形式又可写为

x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=0

高次方程解法思想

通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．

高次方程根与系数的关系

按这个高次方程的形式

x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有

所有根相加等于系数bn-1的相反数

所有根两两相乘再相加等于系数bn-2

所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数

依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb0

伽罗华对高次方程的研究成果

伽罗华（Galois，1811——1832），法国数学家。

伽罗华15岁进入巴黎有名公立中学学习，偏爱数学。后来想进工科大学，两次落榜只进一所代等的预备学校，此时，他专攻五次方程代数解法。第一年写了四篇文章，1828年，17岁的伽罗华写了《关于五次方程的代数解法问题》等两篇论文送交法国科学院，但被柯西（Cauchy, 1789——1875）遗失，后来，他又把一篇文章送给傅利（Fourier，1768——1830）。不久，傅利就去世了，也就不了了之。1831年，伽罗华完成了《关于用根式解方程的可解性条件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。伽罗华不幸因决斗受重伤于1832年5月31日离世，时年不满21岁，在决斗前夜，他深知为女友决斗而死毫无意义，但又不甘示弱，当晚他精神高度紧张和极度不安，连呼“我没有时间了！”匆忙之中，把他关于方程论的发现草草写成几页说明寄给他的朋友，并附有如下一段话：“你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。”到了14年后的1864年，刘维尔（Liouville，1809——1882）在由他创办的《纯粹数学和应用数学杂志》上发表了伽罗华的部分文章。关于伽罗华理论的头一个全面而清楚的介绍是乔丹（Jordan，1838——1892）于1870年出版的《置换和代数方程专论》一书中给出的。这样。伽罗华超越时代的天才思想才逐渐被人们所理解和承认，至今已成为一门蓬勃发展的学科——抽象代数学。伽罗华避开了拉格朗日的难以捉摸的预解式而巧妙地应用了置换群这一工具，他不但证明一般代数方程，当n≥5时不可能用根号求根，而且还建立了具体数学系数的代数方程可用根号求解的判别准则，并举出不能用根号求解的数字系数代数方程的实例。这样，他就透彻地解决了这个长达二百多年来的时间使不少数学家伤脑筋的问题。不仅如此，伽罗华所发现的结果。他的奇特思想和巧妙方法，现又成为全部代数的中心内容。在这一点上说，他作为抽象代数的创造人之一是当之无愧的。他的贡献决不限于解决代数方程根号求解的问题。

随着时间的推移，伽罗华的卓越贡献越来越为数学家所认识。他的学术思想对近代数学产生了深远的影响：他开创的群论逐渐渗透到数学其它分支，以及结晶学，理论物理学等领域，群论给这些领域提供了有力的数学工具比如用群论证明了结晶体的类型只有230种，群论为诸如方程的根，晶体的结构，空间变换，基本粒子的对称性等课题的研究提供统一的方法。到20世纪，群论的概念在整个数学中占有重要的地位，成为现代数学的基础之一。

阿贝尔定理

对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。

换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。

四次方程解法

卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。

【费拉里公式】

一元四次方程

aX^4+bX^3+cX^2+dX+e=0，

（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。

令a=1，则

X^4+bX^3+cX^2+dX+e=0，

此方程是以下两个一元二次方程的解。

2X^2+(b+M)X+2(y+N/M)=0；

2X^2+(b—M)X+2(y—N/M)=0。

其中

M=√(8y+b^2—4c)；N=by—d，(M≠0)。

y是一元三次方程

8y^3—4cy^2—(8e—2bd)y—e(b^2—4c)—d^2=0

的任一实根。

三次方程解法

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3+bX^2+cX+d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3+pX+q=0的特殊型。

卡尔丹公式

一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)

判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3

【卡尔丹公式】

X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；

X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；

X3=(Y1)(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，

其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；

Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

一般式一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0

令X=Y—b/(3a)代入上式，

可化为适合卡尔丹公式求解的特殊型三次方程Y^3+pY+q=0。

盛金公式

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

【盛金公式】

一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：

A=b^2－3ac；

B=bc－9ad；

C=c^2－3bd，

总判别式：

Δ=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：

X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：

X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；

X(2，3)=(－2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；

其中Y(1，2)=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：

X⑴=－b/a+K；X⑵=X3=－K/2，

其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：

X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；

X(2，3)=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；

其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)

【盛金判别法】

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；

②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

【盛金定理】

当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

盛金公式解法的以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 .