| 词条 | 概率论与数理统计 |
| 释义 | 1 数学分支学科《概率统计》是高等院校理工类、经管类的重要课程之一。在考研数学中的比重大约占22%左右。主要内容包括：概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、统计量及其概率分布、参数估计和假设检验、回归分析、方差分析、马尔科夫链等内容。 ◎ 课程描述概率论与数理统计是数学的一个有特色且又十分活跃的分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻;另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，目前已发展成为一门独立的一级学科。概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理，马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等，同时他又向基础学科、工科学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是概率论与数理统计发展的一个新趋势。 （孔繁亮） ◎ 考试相关◎ 考研数学概率论与数理统计初步题型总结(新浪网 海天教育) 目前，大部分同学开始了概率论和数理统计的复习，本文主要想对同学们近期的复习做一个简单的指导。概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 常有的题型有：填空题、选择题、计算题和证明题，试题的主要类型有： (1)确定事件间的关系，进行事件的运算； (2)利用事件的关系进行概率计算； (3)利用概率的性质证明概率等式或计算概率； (4)有关古典概型、几何概型的概率计算； (5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率； (6)有关事件独立性的证明和计算概率； (7)有关独重复试验及伯努利概率型的计算； (8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率； (9)由给定的试验求随机变量的分布； (10)利用常见的概率分布(例如(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等)计算概率； (11)求随机变量函数的分布(12)确定二维随机变量的分布； (13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率； (14)求二维随机变量的边缘分布、条件分布； (15)判断随机变量的独立性和计算概率； (16)求两个独立随机变量函数的分布； (17)利用随机变量的数学期望、方差的定义、性质、公式，或利用常见随机变量的数学期望、方差求随机变量的数学期望、方差； (18)求随机变量函数的数学期望； (19)求两个随机变量的协方差、相关系数并判断相关性； (20)求随机变量的矩和协方差矩阵； (21)利用切比雪夫不等式推证概率不等式； (22)利用中心极限定理进行概率的近似计算； (23)利用t分布、χ2分布、F分布的定义、性质推证统计量的分布、性质； (24)推证某些统计量(特别是正态总体统计量)的分布； (25)计算统计量的概率； (26)求总体分布中未知参数的矩估计量和极大似然估计量； (27)判断估计量的无偏性、有效性和一致性； (28)求单个或两个正态总体参数的置信区间； (29)对单个或两个正态总体参数假设进行显著性检验； (30)利用χ2检验法对总体分布假设进行检验。 这一部分主要考查概率论与数理统计的基本概念、基本性质和基本理论，考查基本方法的应用。对历年的考题进行分析，可以看出概率论与数理统计的试题，即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求考生能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。 在解答这部分考题时，考生易犯的错误有： (1)概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构； (2)对试验分析错误，概率模型搞错； (3)计算概率的公式运用不当； (4)不能熟练地运用独立性去证明和计算； (5)不能熟练掌握和运用常用的概率分布及其数字特征； (6)不能正确应用有关的定义、公式和性质进行综合分析、运算和证明。 更多信息请访问：新浪考研频道考研论坛 特别说明：由于各方面情况的不断调整与变化，新浪网所提供的所有考试信息仅供参考，敬请考生以权威部门公布的正式信息为准。 ◎ 怎样学“概率论与数理统计”“概率论与数理统计”是理工科大学生的一门必修课程，也是报考硕士研究生时数学试卷中重要内容之一[其中数学一占20%?，数学三占25%?，数学四占25%?(概率论)].由于该学科与生活实践和科学试验有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科(如控制论、信息论、可靠性理论、人工智能等)的基础，因此学好这一学科是十分重要的.? 首先我们从历届考研成绩进行分析，观察一下高等数学与概率统计之间有什么差异其一是概率统计的平均得分率往往低于高等数学平均得分率.其二高等数学的得分分布呈两头小中间大现象，即低分和高分比例小，而中间分数段比例大，而概率统计的得分率却是低分多， 中间分数少，高分较多的现象.为什么会发生上述差异?经分析发现虽然高等数学与概率统计同属数学学科，但各有自己的特点. 高等数学主要是通过学习极限、导数和积分等知识解决有关(一维或多维)函数的有关性质和图象的问题, 它与中学的数学有着密切联系而且有着相同的思想方法和解题思路.因而在概念上理解比较容易接受(当然也有比较抽象的内容如中值定理等).另一方面由于涉及许多具体初等函数，在求导数和积分时有许多计算上的技巧，需要大量练习以熟练掌握这些技巧，因而部分学生即使概念不十分清楚，但仍能正确解答相当多的试题，在考研中得到一定的成绩.? 而在“概率论与数理统计”的学习中更注重的是概念的理解，而这正是广大学生所疏忽的，在考研复习时几乎有近一半以上学生对“什么是随机变量”、“为什么要引进随机变量”仍说不清楚.对于涉及随机变量的独立，不相关等概念更是无从着手，这一方面是因为高等数学处理的是“确定”的事件.如函数y=f(x)，当x确定后y有确定的值与之对应.而概率论中随机变量X在抽样前是不确定的，我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比较困难，如果套用确定性的思维方法就会出错.由于基本概念没有搞懂，即使是十分简单的题目也难以得分.从而造成低分多的现象.另一方面由于概率论中涉及的计算技巧不多，除了古典概型，几何概型和计算二维随机变量的函数分布时如何确定积分上、下限有一些计算的难点，其他的只是数值或者积分、导数的计算.因而如果概念清楚，那么解题往往很顺利且易得到正确答案，这正是高分较多的原因.? 根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果.下面我们分别对“概率论”和“数理统计”的学习方法提出一些建议.? 一、 学习“概率论”要注意以下几个要点 1. 在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加2个苹果等于3个苹果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画?随机变量X(即从样本空间到实轴的单值实函数)的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画. 此外若对一切实数集合B，知道P(X∈B). 那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了.所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B). 就对随机试验进行了全面的刻画.它的研究成了概率论的研究中心课题.故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑.类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会.? 2. 在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X(w)，但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间.而它的取值是不确定的， 随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P(X∈B)，即随机变量X的分布.只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解.又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P(A)·P(B)>0，则A，B独立则一定相容.类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂.? 3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F(x)=P(X≤x),EX,DX等按定义都易求得.计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx(x)=∫－∞∞ f(x,y)dy,事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x,y)dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f(x,y)通常是分段函数，真正的积分限并不再是(－∞,∞)或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握.? 4. 概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过.因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去.这样往往能“事半功倍”. 二、 学习“数理统计”要注意以下几个要点? 1. 由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义.了解数理统计能解决那些实际问题.对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆.例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到① 如何寻求合适的估计量的途径，②如何比较多个估计量的优劣?这样，针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对②又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足.掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误.? 2. 许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多，置信区间，假设检验表格多而且记不住.事实上概括起来只有八个公式需要记忆，而且它们之间有着紧密联系，并不难记，而区间估计和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已，关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义，在理解基础上灵活运用这八个公式，完全没有必要死记硬背. ◎ 产生和发展（陈希孺访谈） 记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。 陈希孺院士：先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。 统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。 这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。 这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。 葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。 当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等领域的工作，特别是比利时天文学家兼统计学家凯特勒19世纪的工作，对促成现代数理统计学的诞生起了很大的作用。 数理统计学的另一个重要源头来自天文和测地学中的误差分析问题。早期，测量工具的精度不高，人们希望通过多次量测获取更多的数据，以便得到对量测对象的精度更高的估计值。量测误差有随机性，适合于用概率论即统计的方法处理，远至伽利略就做过这方面的工作，他对测量误差的性态作了一般性的描述，法国大数学家拉普拉斯曾对这个问题进行了长时间的研究，现今概率论中著名的“拉普拉斯分布”，即是他在这研究中的一个产物，这方面最著名且影响深远的研究成果有二：一是法国数学家兼天文家勒让德19世纪初（1805）在研究慧星轨道计算时发明的“最小二乘法”，他在估计过巴黎的子午线长这一工作中，曾使用这个方法。现今著作中把这一方法的发明归功于高斯，但高斯使用这一方法最早见诸文字是1809年，比勒让德晚。一种现在逐步取得公认——这项发明系由二人独立做出，看来使比较妥当的。另外一个重要成果是德国大学者高斯1809年在研究行星绕日运动时提出用正态分布刻画测量误差的分布。正态分布也常称为高斯分布，其曲线是钟形，极象颐和园中玉带桥那样的形状，故有时又称为“钟形曲线”，它反映了这样一种极普通的情况：天下形形色色的事物中，“两头小，中间大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中间者占多数——当然，这只是一个极粗略的描述，要作出准确的描述，须动用高等数学的知识。正是其数学上的特性成为其广泛应用的根据。 正态分布在数理统计学中占有极重要的地位，现今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在，提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人们对他这一贡献评价之高。 20世纪以前数理统计学发展的一个重要成果，是19世纪后期由英国遗传学家兼统计学家高尔顿发起，并经现代统计学的奠基人之一K·皮尔逊和其他一些英国学者所发展的统计相关与回归理论。所谓统计相关，是指一种非决定性的关系如人的身高X与体重Y，存在一种大致的关系，表现在X大（小）时，Y也倾向于大（小），但非决定性的：由X并不能决定Y。现实生活中和各种科技领域中，这种例子很多，如受教育年限与收入的关系，经济发展水平与人口增长速度的关系等，都是属于这种性质，统计相关的理论把这种关系的程度加以量化，而统计回归则是把有统计相关的变量，如上文的身高X和体重Y的关系的形式作近似的估计，称为回归方程，现实世界中的现象往往涉及众多变量，它们之间有错综复杂的关系，且许多属于非决定性质，相关回归理论的发明，提供了一种通过实际观察去对这种关系进行定量研究的工具，有着重大的认识和实用意义。 到20世纪初年，由于上述几个方面的发展，数理统计学已积累了很丰富的成果——在此因篇幅关系，我们不能详尽无遗地一一列举有关的重要成果，如抽样调查的理论和方法方面的进展，但是直到这时为止，我们还不能说现代意义下的数理统计学已经建立起来，其主要标志之一就是这门学问还缺乏一个统一的理论框架，这个任务在20世纪上半叶得以完成，狭义一点说可界定在1921——1938年，起主要作用的是几位大师级的人物，特别是英国的费歇尔·K·皮尔逊，发展统计假设检验理论的奈曼与E·皮尔逊和提出统计决策函数理论的瓦尔德等。我国已故著名统计学家许宝（1910——1970）在这项工作中也卓有建树。 自二战结束迄今，数理统计学有了迅猛的发展，主要有以下三方面的原因：一是数理统计学理论框架的建立以及概率论和数学工具的进展，为统计理论在面上和向纵深的发展打开了门径和提供了手段，许多在早期比较粗略的理论和方法，在理论上得到了完善与深入，并不断提出新的研究课题；二是实用上的需要，不断提出了复杂的问题与模型，吸引了学者们的研究兴趣；三是电子计算机的发明与普及应用，一方面提供了必要的计算工具——统计方法的实施往往涉及大量数据的处理与运算，用人力无法在合理的时间内完成，所以在早年，一些统计方法人们虽然知道，但很少付诸实用，就因为是人力所难及。计算机的出现解决了这个问题。而赋予统计方法以现实的生命力。同时，计算机对促进统计理论研究也有助益，统计模拟是其表现之一，在承认上述成就的同时，不少统计学家也指出这一时期发展中出现的一些问题或偏向，其中主要的一点是，数理统计学理论研究中的“数学化”气味愈来愈重，相当一部分研究工作停留在数学的层面，早期那种理论研究与现实问题密切结合的优良传统有所淡化，一些学者还提出了补救的建议，对未来统计学发展的方向进行探讨。同时，现实问题愈来愈涉及到大量的，结构复杂的数据，按现行的数理统计学规范去处理，显得力所不及，需要一些带有根本性创新的思路，使统计学的发展登上一个新的台阶，以适应应用上的需要，考虑这一背景，有的统计学家乐观地认为数理统计学正面临一个新的突破。 在上面讲述数理统计学的发展状况时，我们着重在实际需要所起的促进作用方面，由于概率论的概念和方法是数理统计学的理论基础，概率论的进展也必然对数理统计学的发展起促进作用。 概率，又称几率，或然率，指一种不确定的情况出现可能性的大小，例如，投掷一个硬币，“出现国徽”（国徽一面朝上）是一个不确定的情况。因为投掷前，我们无法确定所指情况（“出现国徽”）发生与否，若硬币是均匀的且投掷有充分的高度，则两面的出现机会均等，我们说“出现国徽”的概率是1/2；同时，投掷一个均匀骰子，“出现4点”的概率是1/6，除了这些以及类似的简单情况外，概率的计算不容易，往往需要一些理论上的假定，在现实生活中则往往用经验的方法确定概率，例如某地区有N人，查得其中患某种疾病者有M人，则称该地区的人患该种疾病的概率为M/N，这事实上是使用统计方法对发病概率的一个估计。 概率的概念起源于中世纪以来的欧洲流行的用骰子赌博，这一点不难理解，某种情况出现可能性的大小要能够体察并引起研究的兴趣，必须满足两个条件：一是该情况可以在多次重复中被观察其发生与否（在多次重复下出现较频繁的情况有更大的概率），一是该情况发生与否与当事人的利益有关或为其兴趣关注之所在，用骰子赌博满足这些条件。 当时有一个“分赌本问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决。在这过程中孕育了概率论一些重要的基本概念，举该问题的一个简单情况：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙胜的机会均等，都是1/2。约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌情，问这60元赌注该如何分给2人，才算公平，初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人提出了一些另外的解法，结果都不正确，正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何，至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3：1，故赌注的公平分配应按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。 当时的一些学者，如惠更斯、巴斯噶、费尔马等人，对这类赌情问题进行了许多研究，有的出版了著作，如惠更斯的一本著作曾长期在欧洲作为概率论的教科书，这些研究使原始的概率和有关概念得到发展和深化。不过，在这个概率论的草创阶段，最重要的里程碑是伯努利的著作《推测术》。在他死后的1713年发表，这部著作除了总结前人关于赌情的概率问题的成果并有所提高外，还有一个极重要的内容，即如今以他的名字命名的“大数律”，大数律是关于（算术）平均值的定理，算术平均值，即若干个数X1、X2……Xn之和除以n，是最常用的一种统计方法，人们经常使用并深信不疑。但其理论根据何在，并不易讲清楚， 就是伯努利的大数律要回答的问题，在某种程度上可以说，这个大数律是整个概率论最基本的规律之一，也是数理统计学的理论基石。 概率论虽发端于赌博，但很快在现实生活中找到多方面的应用，首先是在人口、保险精算等方面，在其发展过程中出现了若干里程碑的《机遇的原理》，其第三版发表于1756年，法国大数学家拉普拉斯的《分析概率论》，发表于1812年，1933年苏联教学家柯尔莫哥洛夫完成了概率论的公理体系，在几条简洁的公理之下，发展出概率论整座的宏伟建筑，有如在欧几里得公理体系之下发展出整部几何。自那以来，概率论成长为现代数学的一个重要分支，使用了许多深刻和抽象的数学理论，在其影响下，数理统计的理论也日益向深化的方向发展。 ◎ 学科历史三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”： 两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？ 诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。 数学家们“参与”赌博。参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。 1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲22个卢布。一般地，若甲前n－1次掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方？ 尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”，把橡莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科。 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。 如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。 现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。 直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。 根据概率论中用投针试验估计π值的思想产生的蒙特卡罗方法，是一种建立在概率论与数理统计基础上的计算方法。借助于电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。 概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。 ◎ 实际应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如:1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关； 2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均需要用到 假设检验； 3.寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理； 4.电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计； 5.处理通信问题, 需要研究信息论 6.探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用； 7.研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述； 8.在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程； 9.许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论. 目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域 ,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用 概率统计方法.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行,无所作为. 2 祝东进等编数学教材◎ 图书信息书名：概率论与数理统计 作 者： 祝东进，郭大伟，刘晓 编著 出 版 社： 国防工业出版社 出版时间： 2010-1-1 开 本： 16开 丛书：普通高等院校“十一五”规划教材 I S B N ： 9787118064988 定价：￥28.00 ◎ 内容简介本书是高等学校概率统计课的教材，内容包括概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、统计量及其概率分布、参数估计和假设检验、回归分析、方差分析以及用Excel进行概率统计计算。 本书论述严谨，通俗易懂，书中结合实际给出了大量例题和习题，特别是用Excel进行概率统计分析提供了简单实用的计算工具。 本书适合大学理工科各专业以及经济管理类专业学生使用，既可作为本科生同步学习参考书，又可作为考研复习指导书。 3 陈希孺编数学教材◎ 图书信息书名：概率论与数理统计 作者：陈希孺编著 ISBN：10位[7312003494] 13位[9787312003493] 出版社：中国科学技术大学出版社 出版日期：1992-5-1 定价：￥15.00 元 ◎ 内容提要本书内容包括初等概率计算、随机变量及其分布、数字特征、多维随机向量、极限定理、统计学基本概念、点估计与区间估计、假设检骏、回归相关分析、分差分析等。书中选入了部分在理论和应用上重要，但一般认为超出本课程范围的材料，以备教者和学者选择。 本书着重基本概念的阐释，同时，在设定的数学程度内，力求做到论述严谨。 书中精选了百余道习题，并在书末附有提示与解答。 本书是作为高等学校理工科非数学系的概率统计课程教材，也可以作为具有相当数学准备（初等微积分及少量矩阵知识）的读者自修之用。 ◎ 编辑推荐本书的目的，是作为高等学校理工科非数学系概率统计课程的教材，具有相当数学准备(初等微积分与少量矩阵知识)的读者，也可以作为自修本课程的读物．书中部分材料，一般认为可能超出本课程的范围，如最小方差无偏估计、克拉美一劳不等式、一致最优检验、非中心分布、截尾寿命检验、多元线性回归、偏复相关、随机区组与正交表设计、贝叶斯方法等．作者认为，这些内容有的在应用上很重要，其所以未在课堂讲授，多是由于时间限制，有的虽偏于理论，但性质很基本，有助于学生对统计方法及其局限性的理解．这些内容并不一定要用高深数学，写入教材，给学生一个提高和加深对本学科理解的机会，也给教师一种根据需要对.. ◎ 目录第一章 事件的概率 1.1 概率是什么 1.2 古典概率计算 1.3 事件的运算、条件概率与独立性 第二章 随机变量及概率分布 2.1 一维随机变量 2.2 多维随机变量（随机向量） 2.3 条件概率分布与随机变量的独立性 2.4 随机变量的函数的概率分布 第三章 随机变量的数字特征 3.1 数学期望（均值）与中位数 3.2 方差与矩 3.3 协方差与相关系数 3.4 大数定理和中心极限定理 第四章 参数估计 4.1 数理统计学的基本概念 4.2 矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计 4.3 点估计的优良准则 4.4 区间估计 第五章 假设检验 5.1 问题的提法和基本概念 5.2 重要参数检验 5.3 拟合优度检验 第六章 回归、相关与方差分析 6.1 回归分析基本概念 6.2 一元线性回归 6.3 多元钱性回归 6.4 相关分析 6.5 方差分析 4 盛骤等编数学教材◎ 图书信息书名：概率论与数理统计 作 者： 盛骤，谢式千，潘承毅 编 出 版 社： 高等教育出版社 出版时间： 2008-6-1 字 数： 490000 版 次： 4 页 数： 414 印刷时间： 2009-8-1 开 本： 16开 印 次： 5 纸 张： 胶版纸 I S B N ： 9787040238969 包 装： 平装 所属分类： 图书>> 自然科学>> 数学>> 概率论与数理统计 ◎ 内容简介本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，在2001年出版的本书（第三版）的基础上增订而成。本次修订新增的内容有：在数理统计中应用Excel，bootstrap方法，户值检验法，箱线图等；同时吸收了国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实。 本书主要内容包括概率论、数理统计、随机过程三部分，每章附有习题；同时涵盖了《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的所有知识点。本书可作为高等学校工科、理科（非数学专业）各专业的教材和研究生入学考试的参考书，也可供工程技术人员、科技工作者参考。 ◎ 目录第四版前言 第三版前言 第二版前言 第一章 概率论的基本概念 1.随机试验 2.样本空间、随机事件 3.频率与概率 4.等可能概型（古典概型） 5.条件概率 6.独立性 小结 习题 第二章 随机变量及其分布 1.随机变量 2.离散型随机变量及其分布律 3.随机变量的分布函数 4.连续型随机变量及其概率密度 5.随机变量的函数的分布 小结 习题 第三章 多维随机变量及其分布 1.二维随机变量 2.边缘分布 3.条件分布 4.相互独立的随机变量 5.两个随机变量的函数的分布 小结 习题 第四章 随机变量的数字特征 1.数学期望 2.方差 3.协方差及相关系数 4.矩、协方差矩阵 小结 习题 第五章 大数定律及中心极限定理 1.大数定律 2.中心极限定理 小结 习题 第六章 样本及抽样分布 1.随机变量 2.直方图和箱线图 3.抽样分布 小结 附录 习题 第七章 参数估计 1.点估计 2.基于截尾样本的最大似然估计 3.估计量的评选标准 4.区间估计 5.正态总体均值与方差的区间估计 6.（0-1）分布参数的区间估计 7.单侧置信区间 小结 习题 第八章 假设检验 1.假设检验 2.正态总体均值的假设检验 3.正态总体方差的假设检验 4.置信区间与假设检验之间的关系 5.样本容量的选取 6.分布拟合检验 7.秩和检验 8.假设检验问题的p值法 小结 习题 第九章 方差分析及回归分析 1.单因素实验的方差分析 2.双因素试验的方差分析 3.一元线性回归 4.多元线性回归 小结 附录 习题 第十章 bootstrap方法 1.非参数bootstrap方法 2.参数bootstrap方法 小结 第十一章 在数理统计中应用Excel软件 1.概述 2.箱线图 3.假设检验 4.方差分析 5.一元线性回归 6.bootstrap方法、宏、VBA 本章参考文献 第十二章 随机过程及其统计描述 1.随机过程的概念 2.随机过程的统计描述 3.泊松过程及维纳过程 小结 习题 第十三章 马尔可夫链 1.马尔可夫过程及其概率分布 2.多步转移概率的确定 3.遍历性 小结 习题 第十四章 平稳随机过程 1.平稳随机过程的概念 2.各态历经性 3.相关函数的性质 4.平稳随机过程的功率谱密度 小结 习题 选做习题 参读材料 随机变量样本值的产生 附表 附表1.几种常用的概率分布表 附表2.标准正态分布表 附表3.泊松分布表 附表4.t分布表 附表5.χ2分布表 附表6.F分布表 附表7.均值的t检验的样本容量 附表8.均值差的t检验的样本容量 附表9.秩和临界值表 习题答案 ◎ 版本简介《概率论与数理统计》是由1989年8月出版的《概率论与数理统计》第二版修订而成的，2001年第三版、2008年第四版。 5 鲜思东编数学教材◎ 出版信息书名：概率论与数理统计 作者：鲜思东 出版社：科学出版社 出版时间：2010年8月20日 ISBN：9787030284976 开本：16开 ◎ 内容简介本书根据复合应用型人才培养目标和学生知识能力结构的要求，更新概率论与数理统计课程教学内容，新编的《概率论与数理统计》教材内容包括概率论、随机过程与数理统计三部分内容。 ◎ 目录前言 第1章随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机试验与样本空间 1.1.2 随机事件、事件间的关系与运算 1.2 事件的概率及其性质 1.2.1 频率与概率的统计定义 1.2.2 古典概型 1.2.3 几何概率 1.2.4 概率的公理化定义 1.3 条件概率与贝叶斯公式 1.3.1 条件概率与乘法公式 1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式 1.4事件的独立性与伯努利概型 1.4.1 事件的独立性 1.4.2 伯努利概型 复习题1 第2章随机变量及其分布 2.1 随机变量的概念与离散型随机变量 2.1.1 随机变量的概念 2.1.2 离散型随机变量及其分布律 2.1.3 常见的离散型随机变量 2.2 随机变量的分布函数 2.2.1 分布函数的定义 2.2.2 分布函数的性质 2.3 连续型随机变量及其概率密度 2.3.1 连续型随机变量 2.3.2 常见的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布 2.4.1 离散型随机变量函数的分布 2.4.2 连续型随机变量函数的分布 复习题2 第3章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布 3.1.1 二维随机变量的定义、分布函数 3.1.2 二维离散型随机变量 3.1.3 二维连续型随机变量 3.2 边缘分布 3.2.1 边缘分布律 3.2.2 边缘密度函数 3.3 随机变量的独立性 3.4 两个随机变量函数的分布 3.4.1 Z=X+y的分布 3.4.2 M=max{X，y}和N=min{X，y}的分布 复习题3 第4章随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.1.1 数学期望的定义 4.1.2 随机变量函数的数学期望 4.1.3 数学期望的性质 4.2 方差 4.2.1 方差的定义 4.2.2 方差的性质 4.2.3 常见分布的方差 4.3 协方差、相关系数与矩 4.3.1 协方差与相关系数 4.3.2 独立性与不相关性 4.3.3 矩、协方差矩阵 复习题4 第5章大数定律及中心极限定理 5.1 大数定律 5.1.1 切比雪夫不等式 5.1.2 3个大数定律 5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布中心极限定理 5.2.2 棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理 复习题5 第6章数理统计的基本概念 6.1 几个基本概念 6.1.1 总体与样本 6.1.2 直方图 6.1.3 统计量与样本矩 6.2 3个重要分布与抽样定理 6.2.1 3个重要分布 6.2.2 正态总体下的抽样定理 复习题6 第7章参数估计 7.1 点估计 7.1.1 矩估计法 7.1.2 极大似然估计法 7.2 估计量的评选标准 7.2.1 无偏性 7.2.2 有效性与一致性 7.3 区间估计 7.3.1 区间估计的定义 7.3.2 单个正态总体均值与方差的置信区间 7.3.3 两个正态总体均值之差与方差之比的置信区间 复习题7 第8章假设检验 8.1 假设检验的基本思想与步骤 8.1.1 假设检验的基本思想 8.1.2 两类错误与假设检验的步骤 8.1.3 检验的p-值 8.2 单个正态总体均值与方差的检验 8.2.1 单个总体N（u，a2）均值u的检验 8.2.2 置信区间与假设检验的关系 8.2.3 单个总体方差a2的检验 8.3 两个正态总体均值与方差的检验 8.3.1 两个正态总体均值之差的检验 8.3.2 两个正态总体方差之比的检验 8.4 分布拟合检验 复习题8 第9章回归分析 9.1 一元线性回归 9.1.1 基本概念 9.1.2 回归系数的最小二乘估计 9.1.3 回归方程的显著性检验 9.1.4 一元线性回归方程的预测 9.2 可线性化的回归方程 复习题9 附 录 附录A数学建模及大学生数学建模竞赛简介 附录B概率论与数理统计附表 参考答案 参考文献 6 甘健胜编数学教材◎ 图书信息书名：概率论与数理统计 ISBN:781082443 作者：甘健胜 编 出版社:北方交通大学出版社 定价：28 页数:327 出版日期：2005-1-1 版次:1 开本：16开 包装: ◎ 简介本书是针对高职高专类专业对该课程教学的基本要求与培养规格而编写的教学资料，全书内容包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、常用分布及其应用、大数定律与中心极限定理、样本分布、参数估计、假设检验、方差分析、回归分析基本概念、计算方法及其应用。各章都配有内容概要、常用术语、常用公式。各节配有针对性强的思考与练习题。附录介绍排列组合基本概念、几个常用分布的密度函数及临界值含义。书后给出常用统计表。本教材可适用于高等职业学校、高等专科学校、成人高校以及本科院校举办的二级职业技术学院和民办高校教学用书或教学参考书。对于自学人员也是一本有益的参考读物。按照不同专业的教学要求，可对教材内容进行选择。 ◎ 目录第1章随机事件及其概率 1. 1随机事件 1. 1. 1随机现象 1. 1. 2随机事件 1. 1. 3事件的集合表示与图示 1. 1. 4事件之间的关系及其运算 思考与练习 1. 2概率 1. 2. 1概率的古典定义 1. 2. 2概率的几何定义 1. 2. 3概率的统计定义 思考与练习 1. 3概率的加法法则 1. 3. 1狭义加法法则 1. 3. 2广义加法法则 思考与练习 1. 4条件概率与乘法法则 1. 4. 1条件概率 1. 4. 2乘法法则 思考与练习 1. 5全概率公式与贝叶斯公式 1. 5. 1全概率公式 1. 5. 2贝叶斯公式 思考与练习 1. 6独立试验概型 1. 6. 1事件的独立性 1. 6. 2独立试验序列概型 1. 6. 3贝努里公式 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第2章随机变量及其分布 2. 1随机变量 2. 1. 1随机事件的数量标记 2. 1. 2随机变量 思考与练习 2. 2一元离散型随机变量 2. 2. 1一元离散型随机变量 2. 2. 2一元离散型随机变量的描述 2. 2. 3常见离散型随机变量的分布 思考与练习 2. 3一元连续型随机变量 2. 3. 1一元连续型随机变量 2. 3. 2一元连续型随机变量的描述 2. 3. 3常见连续型随机变量的分布 思考与练习 2. 4二元离散型随机变量 2. 4. 1联合概率函数 2. 4. 2边缘概率函数 2. 4. 3条件概率函数 2. 4. 4随机变量的相互独立性 思考与练习 2. 5二元连续型随机变量 2. 5. 1联合密度函数 2. 5. 2边缘密度函数 2. 5. 3条件密度函数 2. 5. 4随机变量的相互独立性 思考与练习 2. 6随机变量函数的分布 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第3章随机变量的数字特征 3. 1数学期望 3. 1. 1平均值 3. 1. 2数学期望 3. 1. 3数学期望的性质 3. 1. 4数学期望应用举例 思考与练习 3. 2方差 3. 2. 1离差与方差 3. 2. 2方差的性质 3. 2. 3方差应用举例 思考与练习 3. 3二元随机变量的数字特征 3. 3. 1随机变量的均值与方差 3. 3. 2条件期望 3. 3. 3协方差 3. 3. 4相关系数 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第4章常用分布及应用 4. 1二项分布 4. 1. 1二项分布概述 4. 1. 2二项分布应用举例 思考与练习 4. 2泊松分布 4. 2. 1泊松分布概述 4. 2. 2泊松分布应用举例 4. 2. 3二项分布与泊松分布的联系 思考与练习 4. 3指数分布 4. 3. 1指数分布概述 4. 3. 2指数分布应用举例 思考与练习 4. 4均匀分布 4. 4. 1均匀分布概述 4. 4. 2均匀分布应用举例 思考与练习 4. 5正态分布 4. 5. 1正态分布概述 4. 5. 2标准正态分布 4. 5. 3一般正态分布与标准正态分布的关系 4. 5. 4正态分布常用结论 4. 5. 5正态分布应用举例 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 常用随机变量的期望与方差 第5章大数定律与中心极限定理 5. 1大数定律 5. 1. 1切贝谢夫不等式 5. 1. 2依概率收敛 5. 1. 3大数定律 思考与练习 5. 2中心极限定理 5. 2. 1中心极限定理 5. 2. 2中心极限定理应用举例 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第6章样本分布 6. 1总体与样本 6. 1. 1总体与样本概述 6. 1. 2简单随机样本 6. 1. 3统计量 6. 1. 4样本推断总体 思考与练习 6. 2样本分布函数 6. 2. 1直方图 6. 2. 2样本分布函数 思考与练习 6. 3样本的数字特征 6. 3. 1样本均值 6. 3. 2样本方差 思考与练习 6. 4几个常用统计量的分布 6. 4. 1正态总体样本均值与方差的分布 6. 4. 2几个常用统计量形式及其分布 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第7章参数估计 7. 1参数的点估计 7. 1. 1点估计 7. 1. 2数字特征法 7. 1. 3最大似然估计法 思考与练习 7. 2估计量优劣的评价标准 7. 2. 1无偏估计 无偏性 7. 2. 2有效估计 有效性 7. 2. 3一致估计 一致性 思考与练习 7. 3参数的区间估计 7. 3. 1区间估计 7. 3. 2总体期望的区间估计 7. 3. 3小样本下正态总体方差σ2的区间估计 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第8章假设检验 8. 1假设检验 8. 1. 1假设检验的基本步骤 8. 1. 2假设检验中的两类错误 思考与练习 8. 2一个正态分布的参数假设检验 8. 2. 1总体均值等式检验 8. 2. 2总体均值的不等式检验 8. 2. 3总体方差的检验 8. 2. 4一个正态总体参数检验方法小结 思考与练习 8. 3两个正态总体的假设检验 8. 3. 1两个总体均值比较检验 8. 3. 2两个总体方差的比较检验 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第9章方差分析 9. 1单因素方差分析 9. 1. 1单因素方差分析概述 9. 1. 2单因素方差分析的一般方法 思考与练习 9. 2单因素方差分析应用举例 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 第10章回归分析 10. 1一元线性回归模型 10. 1. 1一元线性回归方程 10. 1. 2变量之间的线性相关性 10. 1. 3线性相关性检验 10. 1. 4拟合优度 10. 1. 5一元线性回归方程的预测 10. 1. 6可线性化的回归方程 思考与练习 10. 2多元线性回归模型简介 10. 2. 1多元线性回归数学模型形式与假定 10. 2. 2参数最小二乘法估计 10. 2. 3估计标准误差 10. 2. 4拟合优度 10. 2. 5回归模型的显著性检验 F检验法 10. 2. 6回归系数的显著性检验 t检验 10. 2. 7预测 10. 2. 8常用可线性化的多元回归方程 思考与练习 本章概要 常用术语 常用公式 附录A排列组合的基本概念 思考与练习 常用术语 附录BZ分布。 X2分布. t分布。 F分布 附录C概率中常用各种表 表C-1累积二项分布数值表 表C-2累积泊松分布数值表 表C-3标准正态分布密度函数表 表C-4标准正态分布函数表 表C-5正态分布双侧临界值表 表C-6t分布双侧临界值表 表C-7X2分布的上侧临界值X2a表 表C-8F分布上侧临界值表 表C-9检验相关系数的临界值表 习题参考答案 参考文献 |
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