分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。

定义

自相似原则

几种典型的分形(三分康托集 Koch 曲线 Julia 集)

分维作用

用例结语

分形理论的管理学应用(信息社会的分形 市场需求与企业效益 信息流分形)

定义

1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。

自相似原则

线性分形又称为自相似分型。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。

这里再进一步介绍分形的分类，根据自相似性的程度，分形可以分为有规分形和无规分形，有规分形是指具体有严格的自相似性，即可以通过简单的数学模型来描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲线等；无规分形是指具有统计学意义上的自相似性的分形，比如曲折连绵的海岸线，漂浮的云朵等。

几种典型的分形

三分康托集

1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。

Koch 曲线

1904年，瑞典数学家柯赫构造了 “Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造方法，其它的可依此类推。三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了 6 次的图形)。

Julia 集

Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础理论后获得的。Julia 集也是一个典型的分形，只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学方法描述。Julia 集由一个复变函数（如左图）

尽管这个复变函数看起来很简单，然而它却能够生成很复杂的分形图形。

右图为Julia集生成的图形，由于c可以是任意值，所以当c取不同的值时，生成的Julia集的图形也不相同。

分维作用

分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?

显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维,海岸线的长度就确定了。

用例结语

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

分形理论的管理学应用

管理科学是一门综合性学科，其内涵十分丰富。它不仅涉及到生产关系与上层建筑，也涉及到生产力的组织与应用。近年来，由于城市的快速发展.随之而来的是社会治安、交通拥挤、环境污染、人口控制、能源紧缺等一系列问题。用分形论原理管理城市是近年来崛起的管理科学中的一个分支。城市建筑、道路分布、商业网点布局、生活服务设施建设、信息高速公路建设等在一定程度上满足了分形结构的研究理论范畴。在管理科学领域内，其组织建设、管理方法与手段等方面都表现出一定的层次、结构、功能和信息的相似性。从最底层管理到最高层管理、从局部到整体、从政务与科技管理到经济财务管理，也都体现着一定的自相似性。可以认为，在知识经济社会里，分形理论将成为管理科学的基础。

信息社会的分形

二十世纪后半叶的新技术革命是人类科学技术和生产力发展的结果，它意味着人类利用自然资源能力的飞跃，标志着新的生产力发展阶段已经到来。知识经济则是在这种强大的推动力促进下形成的新的经济发展形态，是在巨大变革之中的经济生活中的新的运行模式、相互关系、发展框架和经营理念，其社会发展形态是信息社会。信息社会是信息化发展的高级阶段，一般说来有三个层次：其一是以国家权力机构为主的政治信息化或政府管理信息化：信息化将使政府的管理工作出现一个崭新的局面，主要表现为：政务公开成为政府各机构部门的自觉行为、政府工作透明度将得到充分体现、反腐倡廉将得到加强和人民参政议政渠道更加畅通等方面。其二是以企业和市场为主的经济信息化：进入信息时代的企业利用信息化来促进企业发展是时代的需要、社会进步的结果。企业和市场信息化应首先集中在市场拓展的信息化、企业情报的信息化和企业管理的信息化。其三是以人民日常生活为主的社会信息化或市民生活信息化：步入21世纪的城市居民将会发现，传统的生活方式将随社会信息化的推进而发生巨大变化。具体表现为社区服务网络化、通过网络实现子女教育的社会化和网络购物。

市场需求与企业效益

步入知识经济社会，企业所面临的外部因素将变得极其复杂，市场将进一步细分，趋向个性化。一是顾客的需求在多品种、高质量得到满足后将向更加个性化的方向发展二是企业通过信息化及各种网络渠道与消费者建立直接供需关系，是技术和管理创新促进了个性化需求与发展。在工业化时代，企业的边界是清晰的，谁是竞争对手，谁是盟友，很容易分清。而进入信息时代，企业的边界难以分清，既是竞争对手，又是盟友成了普遍的企业之间的关系。

市场的个性化和竞争关系的复杂化给企业资源的优化配置和战略决策带来了新的课题。当企业考虑资源问题时，不能仅从自己所能控制的资源出发，同时还要考虑整个市场的资源分配情况。资源优化不仅仅着重考虑企业内部，而是要考虑整个市场和企业在市场中位置、资源配置和战略决策的复杂化。这使企业大力加强对信息的需求，企业决策越来越依赖于信息的传输和处理。这就需要企业“对知识进行有效管理，使最恰当的知识在最恰当的时间传播给最恰当的人”，以便使其做出最佳的决策。信息时代市场对企业的基本要求则是快速、灵活和具有创新思想的企业经营理念。知识经济时代的企业效益模式的核心是以快速、灵活的管理方式求得效益，其主要方式是企业组织建设的程序重组。企业利用信息技术可以迅速取得市场需求信息、决策及时、产品开发迅速、生产与财务结算准确及时、上市快及信息反馈快，最大限度地减少各环节上时间上的滞耗，从而实现程序重组和最大限度地降低个性化设计和生产成本。所以说，时间成本将成为信息时代最重要的成本概念。在效益模式上，信息时代的企业要在战略和策略上完成根本转变。所谓战略和策略的根本转变：一是从单纯技术驱动转变为市场、技术双重驱动；二是从追求利润最大化转变为利润最大化、企业价值最大化和在市场份额之间寻找平衡点；三是从单纯追求规模效益转变为在追求效益的过程中处理好市场与企业、个人与组织等之间的关系，寻找新的效益支撑点。

信息流分形

随着信息时代的来临，企业的生产管理过程的信息流主要由标准化和非标准化两部分组成。由于工业时代的企业是根据物流程序组织的，专业化分工是物流的基础，职能部门是物流的组织程序。信息化的根本特征是信息的开放性、共享性和实时性，它建立在标准化的基础上。计算机对标准化信息流进行实时处理、传输与共享。而对于非标准化的信息则由管理者(人)进行处理、进而做出决策。信息时代企业经营管理的主要特征是以快速反应(重组组织要素)来适应外部要素的变化，企业的人才和技术储备的投入将变的极为重要，资本的重要性将进一步缩小，技术，特别是信息技术将给企业带来它应变所需的信息及信息处理环境。人才的重要作用在于把信息通过综合和创新而成为知识和决策，信息时代企业的两项基础建设就是技术和人才的投入与储备。信息时代的企业经营管理要有两项基础建设：一是设备的信息化建设，二是人和组织的知识化建设，他们是信息时代一个企业经营管理所必需的、不可分割的硬件和软件等要素的重新组合。

信息时代的企业组织形式是建立在程序组合基础上的灵活的、团队的、多样收还式组织和非正式组织的混合体，横向的企业组织将取代纵向的企业组织。程序组合将使组织变“扁”变“瘦”，变“扁”是指组织的纵向层次将大大减少；变“瘦”，是指组织的横向部门将大大压缩和整合，使得工业化以来建立在分工基础上的职能部门和建立在管理中跨度基础上的层级制将不得不重新组合。企业组织的建设将以明确完整的任务和目标为基础，而不是建立在专业化分工基础之上。由于信息化和知识化给新的企业组织提供了组合分工和加大管理跨度的可能与机会，横向组织取代纵向层级组织成为企业组织的主体已成为一种当今企业组织建设的主流。随着非线性数学理论中早已成熟的

概念与方法逐步向其它学科领域的扩散与渗透，许多新的数学问题得到了应用与发展，如物理学中关于对称与守恒，对称破缺，相变和重正化群的思想，日益增多地在许多新领域中得到应用。“非线性”一词已经成为数学中区别与“线性”问题的术语，尽管在各个学科中都有关于自己非线性的篇章，但非线性科学却不是这些篇章的总和。非线性科学揭示了各种非线性现象的共性，是发展、解决这些问题的普遍方法。非线性科学已成为跨学科研究的前沿。