词条 | 费马点 |
释义 | 在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 费马点发现者费马(Fermat,Pierre de Fermat) (1601~1665)法国数学家 物理学家,被誉为“业余数学家之王。”费马(也译为“费尔马”)1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店,拥有相当丰厚的产业,使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。 费马点定义(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 费马点的判定(1)对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点。 证明我们要如何证明费马点呢:(1)费马点对边的张角为120°。 CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60°=∠ABA1, CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60°,得∠PCB+∠CBP=60°,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120°,∠APC=120° (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60°与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60° 又∠BPA=120°,因此A、P、D三点在同一直线上, 又∠CPB=∠A1DB=120°,∠PDB=60°,∠PDA1=180°,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60°与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。 平面四边形费马点 平面四边形中费马点证明相对于三角形中较为简易,也较容易研究。 (1)在凸四边形ABCD中,费马点为两对角线AC、BD交点P。(2)在凹四边形ABCD中,费马点为凹顶点D(P)。 经过上述的推导,我们即得出了三角形中费马点的找法: 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120°以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。 另一种更为简捷的证明 : 设O为三顶点连线最短点,以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点(如果不是,反射点为O',就会有BO’+ CO' < BO+ CO,而AO’= AO,就会有 AO’+ BO’+ CO' < AO + BO + CO)。 不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是120° (补充说明:AO、BO、CO是每个镜子的法线) 费马点作法:(1)平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时,距离之和最小。 特殊三角形中: (2).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点. (4)当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合 |
随便看 |
百科全书收录4421916条中文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。