矩量法（MoM）(1、矩量法的一般方法 2、矩量法的关键技术 a)、几何建模 b)、电磁建模（基函数和权函数） c)、线性代数方程组的求解)

多层快速多极子（MLFMM）(1、快速多极子 2、多层快速多极子 3、预条件)

FEKO是一款用于3D结构电磁场分析的仿真工具。FEKO仿真基于著名的矩量法（MoM）对Maxwell方程组的求解。FEKO实现了非常全面的MoM代码，可以解决任何结构类型的问题；FEKO还针对许多特定问题，例如平面多层介质结构、金属表面的涂覆等等，开发了量身定制的代码，在保证精度的同时获得最佳的效率。

为了求解电大问题，FEKO引入了多层快速多极子方法（MLFMM）。FEKO是世界上第一个把这种方法推向市场的商业代码。这种方法使得精确仿真电大问题成为可能。在此之前，求解此类问题只能选择高频近似方法。FEKO中有两种高频近似技术可用，一个是物理光学（PO），另一个是一致性绕射理论（UTD）。在MoM和MLFMM需求的资源不够时，这两种方法提供求解的可能性。FEKO中通过混合MoM/PO和MoM/UTD来为电大尺寸问题的精度提供保证。

FEKO还开发了MoM/FEM混合方法用于高效求解非均匀介质目标的辐射和散射问题。

FEKO算法描述（MoM和MLFMM）

矩量法（MoM）

1、矩量法的一般方法

矩量法是一种基于积分方程的严格的数值方法，其精度主要取决于目标几何建模精度和正确的基权函数的选择及阻抗元素的计算。其思想主要是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。下面以电场积分方程求解理想导体的电磁散射问题为例，简要介绍矩量法的一般方法。

由麦克斯维方程组和理想导体的边界条件可以推导出，表面电场积分方程（EFIE）如下：

(1)

其中， 为矢量磁位， 为标量电位，表达形式分别如下：

(2)

(3)

定义基函数系列 ，将电流展开为

(4)

其中 为与第 个基函数相关的的电流展开系数。为了将积分方程离散成为矩阵方程，采用伽略金匹配方法，选取与基函数相同的函数系列作为权函数，表示为 ，对式(3-1)求内积得

(5)

将式(3-4)代入式(3-5)，得到包含 个未知量的 个线性方程，可以写成

(6)

其中， 为 的矩阵， 和 均为 的向量， 为电流系数， 为激励向量， 为未知量数目。

其形式分别如下：

(7)

(8)

上式中，

(9)

(10)

矩阵方程(6)建立之后，下一步就是该矩阵方程的求解。求解方法有直接求解和迭代求解等。随着求解问题的规模增大，直接求解方法的计算量非常巨大，计算复杂度为 ，而迭代求解每步迭代的计算复杂度为 。得到表面电流之后，可以根据该电流分布求得其他感兴趣的电磁参数，如雷达散射截面（RCS）等。

矩量法的一般流程可用图 1来表示。

图 1 矩量法流程图

前面提到过，矩量法计算结果的精度跟几何建模、基权函数的选择和阻抗元素计算有关。而任意复杂形体的散射建模都是由对目标的几何建模和电磁建模所构成，几何建模是用参数曲面或参数单元模拟目标真实曲面或真实区域的过程，电磁建模则是采取相应的电磁学计算方法求解问题的过程。一个散射体几何建模的好坏，直接影响着散射分析的精度与效率。用于三维导体散射几何建模的方法主要有三种：细线格模型、平面贴片模拟和曲面贴片模拟。为了通用和简单，FEKO选择以平面三角贴片模拟三维任意导体，并采用RWG三角分域基函数及伽略金匹配求解。

2、矩量法的关键技术

a)、几何建模

用任何方法求解电磁问题，都需要对所处理的问题建立模型，包括几何建模和电磁建模。几何建模是用参数曲面或参数单元模拟真实曲面和结构的过程，电磁建模则是采用相应的电磁学计算方法求解问题的过程。矩量法中，由于采用表面积分方程，只需要对物理表面进行剖分，几何建模即为建立目标表面模型的过程。物体表面可用多种形式离散，如平面三角形贴片、高阶三角形贴片，参数二次曲面等。

FEKO采用的是处理线天线等问题的线单元和模拟三维目标的三角形贴片。

b)、电磁建模（基函数和权函数）

对应不同的单元类型，需要在单元上定义适合的基函数，即为未知电流的一个数学完备展开。基权函数选取的好坏，直接影响结果的精度和计算的复杂度。

常见的基权函数有脉冲基点匹配法、共型屋脊基函数线匹配法、RWG基函数伽略金法。

脉冲基点匹配是最简单的方法，计算量最少，但未知量数目较多。共型屋脊基函数定义在参数空间参数曲面的两个相邻的单元上，权函数定义在这两个相邻单元的中心连线上，这种基函数的优点是较好地模拟了表面感应电流分布，不会造成人为电荷的堆积，保证了电流的连续性。

RWG基函数是1982年由Rao，Wilton，glisson提出的定义在相邻平面三角贴片上的基函数，称为广义屋脊基函数，通常，选取基函数和权函数一致，即采用伽略金方法。这种基函数能灵活模拟任意复杂的三维几何形体如尖点、凹槽及目标表面的突出物，因此，平面三角贴片的RWG基函数在复杂形体目标的电磁计算中被广泛采用。FEKO即采用了该种基函数。详见S. M. Rao, D. R. wilton, A. W. Glisson, Electromagnetic scattering by serfaces of arbitrary shape[J], IEEE Trans. 1982, AP-30:409-418.

c)、线性代数方程组的求解

数值方法归根到底要求解一个线性代数方程组，求解方法可分为直接法和迭代法。直接法主要有高斯消元法、LU分解法、奇异值分解法（SVD）等。对于矩阵阶数不高或一些稀疏矩阵，直接法可得到比较好的效果，但是对于大阶数或者复杂满矩阵的求逆，直接法效率不高，此时需要用迭代法求解。

迭代法是一种求解矩阵方程的近似方法，通过一个迭代式，经过n步迭代过程，得到逼近真实解的结果。迭代方法有很多，主要有共轭梯度法（CG）、双共轭梯度法（BiCG）、稳定双共轭梯度法（BiCGSTAB）、共轭残差与广义共轭残差法（CR、GCR）等。迭代求解中，需要多次反复计算矩阵与矢量的乘积，所以，如何加快该部分计算，是提高迭代求解速度的关键。如采用并行迭代和MLFMM即是加快迭代过程的该部分计算从而达到加速求解的目的。

多层快速多极子（MLFMM）

1、快速多极子

快速多极子方法是八十年代末九十年代初国际上提出的用于积分方程计算的快速算法，不但大大加速了矩阵与矢量相乘计算，并且也大大降低了存储量。

快速多极子方法的数学基础是矢量加法定理，即利用加法定理对积分方程中的格林函数进行处理。通过在角谱空间中展开，利用平面波进行算子对角化，最后将密集阵与矢量的相乘计算转化为几个稀疏阵与该矢量的相乘计算。

其基本原理是：将目标表面离散得到的子目标分组，任意两个子目标间的互耦根据他们所在组的位置关系而采用不同的处理方法。自身组和相邻组采用直接矩量法计算，非相邻组采用聚合－转移－配置方法计算。

直接计算 快速多极子计算

主要步骤有以下几步：

由加法定理，得到标量格林函数展开式：

（11）

同样，可得到并矢格林函数展开式如下：

其中， 为转移因子，表达式如下：

用矩量法离散电场积分方程

得到矩阵方程

其中，

将上两式带入式即可得到快速多极子的表达式如下：

其中，聚合因子为：

配置因子为：

2、多层快速多极子

多层快速多极子是快速多极子在多层级结构中的推广。对于N互耦，多层快速多极子方法采用多层分区计算，基于树形结构，特点是：逐层聚合、逐层转移，逐层配置、嵌套递推。对于三维情况，用一立方体包围目标，第一层得到8个子立方体。随着层数增加，每个子立方体再细分为8个更小的子立方体，直到最细层满足要求为止。

多层快速多极子除了与快速多极子相同的操作外，还有父层、子层的层间递推计算。多层快速多极子方法的转移计算在各层各组的远亲组间进行，而快速多极子方法的转移计算在非附近组间进行。基于分层结构，多层快速多极子方法由上行过程、下行过程两部份组成。上行过程分为最高层的多极展开、子层到父层的多极聚合。上行过程在多极聚合到第二层后，经远亲转移计算转向下行过程。下行过程则分为父层到子层的多极配置、同层间远亲组的转移和最高层的部分场展开。

所有源散射体i对场散射体j的贡献用快速多极子方法表达为

其中， 为第i个源子散射体的电流幅度， 分别表示配置、转移、聚合因子。

多层快速多极子方法求解上式的具体步骤分为：

1）、最高层的多极展开：计算公式为

其中， 为最高层中，子散射体i所在组的组中心。 ， 分别为最高层 组的聚合量，聚合因子。

2）、多极聚合：将源子散射体在子层子组中心的聚合量平移到父层父组中心表达。这时需要对子层的聚合量插值得到父层所需要个数的聚合量，利用插值矩阵，可得

上式中， 分别表示第l层，第l－1层中源子散射体i所在组的组中心， 分别为 的矢径。

插值可用拉格朗日插值公式等方法实现。聚合过程如下图所示。

3）、多极转移：多极聚合到第二层后，便不再向上聚合。此时开始多极转移，即将源区的外向波转移为场区的内向波，为下行过程做准备。在第二层，源区组中心 的聚合量 即为以 为中心的外向波，以场区组中心 为中心的内向波 如下计算：

其中， 为第二层上的转移因子。之所以选择第二层开始多极转移，是因为在第二层，远亲组即为非附近组，通过远亲组的转移计算可得到待求的所有非附近组的贡献。

以上步骤为多层快速多极子的上行过程，下面步骤为其下行过程。

4）、多极配置：将父层父组中心为中心的内向波转化为以子层子组中心为中心的内向波表达。多极配置为多极聚合的逆过程。公式如下：

5）、多极转移：为了继续从父层到子层递推下去，就必须得到来自于子层子组的所有非附近组的贡献。在多极配置过程中，已经考虑了父层父组的所有非附近组的贡献，尚未考虑的是该子层子组的远亲组贡献。于是，在多极配置的基础上再叠加上子层子组的远亲贡献，就得到了子层子组的所有非附近组的贡献。计算式如下：

重复4）、5）步，直到最高层为止。

6）、部分场展开：对于最高层每个非空组m，在其组中心进行部分场展开，得到m的所有非附近组对组内场点j的贡献

其中， 为最高层的配置因子， 为最高层上以组m为中心的内向波，代表了组m的所有非附近组对组m的贡献。

7）、直接计算附近组的贡献，与非附近组的贡献相叠加，便得到了所有源子散射体对场子散射体的贡献。

以上即为多层快速多极子方法的原理和步骤。

3、预条件

对于迭代求解方法，解的收敛速度主要是由迭代矩阵 的条件数决定的。预条件（Preconditioning）技术就是把一个难求的，收敛缓慢，甚至发散的原始问题变换成具有相同解却拥有较好条件数的新系统。起这样一个变换作用的非奇异矩阵，称之为预条件矩阵。

一般而言，一个好的预条件矩阵需要具备两个特性：（1）应该是矩阵 逆的一个很好的近似矩阵；（2）预条件矩阵的构建和存储开支应较小，否则起不到加速和改善迭代的目的。预条件技术的一般过程如下所述。

用数值方法处理电磁问题时，积分方程离散之后得到的线性方程组具有以下形式：

(011)

上式中的矩阵 通常具有较大的条件数，而这将导致迭代求解收敛变得缓慢。于是找一个预条件矩阵 ，式(4-1)两边同乘预条件矩阵，得

(012)

式中， ， 。此时，新的线性系统具有更好的收敛特性。

预条件技术是目前数值方法的研究热点，方法有很多。用的较多的主要有以下几种：不完全LU（ILU）分解预条件，超松弛（SSOR）预条件，对角预条件和块对角预条件，近场预条件等。

ILU预条件作为一种经典的预条件技术，其预条件矩阵可以表示成： ，其中 和 是矩阵 的LU分解近似。这里一般要求矩阵 是稀疏矩阵，只有这样才能得到稀疏的预条件矩阵 ，从而使整个预条件的构建和存储开支也比较小。而矩量法得到的大型稠密复矩阵，要采用ILU预条件，就先要将整个系统稀疏化，而这会带来误差，使得近似精度降低，收敛变慢甚至不收敛。而这种预条件技术的另一个特点就是内在的串行性，不利于并行。

对角预条件和块对角预条件都很简单，主要是提取出对角线附近的矩阵元素，分块求逆后存储到相应的位置，从而得到一个稀疏的预条件矩阵。往往可以通过付出较少的代价，得到性能的改善。

用FEKO软件进行电磁仿真时，由于电磁仿真对计算资源的强烈需求，计算资源尤其是内存的大小极大的成为决定求解问题规模的约束条件。为了在已有的硬件计算条件下，解决尽量大的电磁问题，FEKO提供了一些减少内存的途径，主要可分为二个层面，其一是算法层面的节约内存，其二是技巧层面的节约内存。

算法

从算法上面来讲，FEKO提供的有MoM，MLFMM，PO，UTD，FEM。矩量法占用内存最多，存储量级为O(N2)。MLFMM为基于MoM的快速算法，将存储量成功将到O(NlogN)量级。PO和UTD属于高频方法，PO只考虑一次场的贡献，存储量为O(N)，UTD不需要对目标表面剖分，所以内存不是求解的困难。当然，各种方法有其适用的范围，如果精确方法不能求解的问题，可考虑采用近似的方法降低对内存的需求以解决。

技巧

主要有两点，一是对称性，二是迭代求解的预条件的设置。

1、对称性：

在矩量法求解和物理光学求解中，利用对称性可大大减少内存需求和求解的复杂度，节省求解时间。

矩量法求解中，如所求解的问题存在电磁对称性，求解的过程可简化成求解部分模型，将结果复制到对称的部分即得到全部结构的解。电磁对称性分为两种，电对称和磁对称，分别用到不同的边界条件实现对称所带来的简便性。几何对称可以方便建模，然而却不能节省计算和内存需求。

物理光学计算中，也可以利用电磁对称节省内存开销，同时可选择对称射线寻迹选项，加速计算。

2、预条件：

众所周知，算法的内存需求绝大部分是矩阵方程所占用的内存，如何降低这部分内存需求，将是减少整个算法内存需求的关键。对于多层快速多极子这样的迭代算法，其内存的需求主要包括三部分：近区阻抗矩阵元素，转移矩阵和预条件矩阵。近区阻抗矩阵元素的内存需求是跟MLFMM算法所确定的最细层盒子尺寸决定的，FEKO中，如果想通过调整该盒子尺寸来减少内存，可通过FM卡手动设置其尺寸，不过一般不推荐这样做，FEKO默认尺寸为0.23个波长，缩小尺寸将导致多极子模式数增大，从而导致计算复杂度增大。

预条件矩阵是整个迭代过程占用内存最多的部分，为了减少此部分内存，可通过CG卡调节预条件的种类或者改变其参数。对于MLFMM，FEKO提供了2种预条件技术，不完全LU分解预条件和稀疏近似逆预条件。FEKO默认采用完全LU分解，填充级别为12，为了减少内存，可将ILU预条件的填充级别改为低于12的值，值越低，预条件占用内存越少，但预条件效果越差。稀疏近似逆占用内存较ILU少很多，当然效果也要差一些。目前，只有稀疏近似逆支持MLFMM的并行。

另外，值得一提的是MLFMM计算过程中，EG卡中默认选择的单精度选项，数据采用单精度存储，将减少一半的内存需求，对于一般情况，单精度已足够满足计算的精度要求。