在对一项“量子几何学”的寻求和探索之中（1947年左右），人们试图将时空量子化，以使得坐标系统不再局域于通常的实数范围，而是基于一种非同寻常的量子对易规则的量子算子，也就是我们今天所说的“非交换几何学”：noncommutative geometry/NCG。

Connes的非交换几何学 2005-12-24 14:22:38

在2001年1月24日举行的瑞典皇家科学院全体会议决定将2001年度的Crafoord奖授予

高等科学研究院(IHES)和法兰西学院(Coll\\`ege de France)的教授，数学家Alain

Connes，表彰他在算子代数领域做出了重要工作并且和他人一起开创了非交换几何

这一分支.

法国数学家Alain Connes在算子代数理论中开拓了新的研究途径，并且是非交换几何的

创始人之一.对于这一全新的数学领域的建立Connes的作用是决定性的.

[法国数学会会刊Gazette des math\\'ematiciens在2002年10月(总第94号)发表了George

Skandalis关于非交换几何的一篇简介.Skandalis是希腊人，高中时代赴法国求学，在

巴黎的Louis-le-Grand中学和日后得到Fields奖的Pierre-Louis Lions以及

Jean-Christophe Yoccoz同班，此后进入巴黎高师学习，

再往后跟Alain Connes做博士论文，是Connes的第一个学生。90年ICM做邀请报告，目前

是巴黎七大教授,Bourbaki

所有[\\,\\,]中的文字均为译注。感谢南开大学冯惠涛老师的帮助.

--

\\heiti{Alain Connes的非交换几何学：谱三元组的概念}\\songti

什么是Alain Connes的非交换几何学？首先，我们有从几何，调和分析，物理，乃至数

论中来的众多例子

\\dots 最重要的出发点是物理:我们希望把相对论(也就是黎曼几何)和量子力学(也就是

非交换的结构)结合在一起.

在这里我将介绍这一理论的若干方面。本质上这是一篇非技术性的文字.如果在有些地方

我是用了一些专门的术语

的话，那是希望能够对熟悉行话的读者有所帮助，但是对于不熟悉这些的读者来说，这

也不会成为一个障碍.

对于(局部)紧空间这个概念，$C^*$代数理论给出了一个很好的非交换的类比: 我们回顾

一下，所谓$C^*$代数$A$首

先是一个Banach代数，其上具有一个对合(involution)$a\\mapsto a^*$(共轭线性并且对

$a,b\\in A$满足$(ab)^*=b^* a^*)$,

此外要求对于所有的$a\\in A$, 我们有$\\|a^* a\\|=\\|a\\|^2$.

\oindent 所有的交换$C^*$代数全体恰好就是所有(局部)紧的拓扑空间上的(在无穷远

趋向于0的)连续函数构成的Banach代数全体

[这是Gel'fand-Naimark定理].因此我们可以把非交换的$C^*$代数视为“非交换的(局部

)紧空间”.

Connes的非交换几何的目的就是想把一些几何的工具应用到一些自然的非交换$C^*$代数

上.我们可以把这些

$C^*$代数视为“非交换微分流形”.有一些工具是可以直接搬到非交换的框架里的，比

如向量丛理论，

对应到[有限]射影模理论，可以由K-理论来刻划. de Rham上同调要搬过去就稍微困难一

点，

它的非交换对应是Connes的循环上同调理论([一般来说，大家承认Boris Tsygan是和Con

nes相互独立发展

出这一套理论的]，那是非交换几何最早的成功之一.一步一步的,Connes在这个循环同调

的框架里面

构造了基本闭链(fundamental cycle),微分形式,联络,以及若干几何中常用概念的非交

换对应。

我们在研究中希望能够对一些[在算子代数研究中已知的]自然的例子应用那些几何的观

点：

---有限生成群的对偶.设$\\Gamma$是一个群。我们可以自然的有一个代数$\\mathbb\\G

amma$与之相关联：以$(u_g)_{g\\in\\Gamma}$为

基的复线性空间,其上的乘法定义为$u_g u_h =u_$(对于$g,h\\in \\Gamma$).它在Hil

bert空间$\\ell^2(\\Gamma)$上的正则表示

(regular representation)的闭包$C^*_r(\\Gamma)$是一个$C^*$代数,称为$\\Gamma$的约

化$C^*$代数(reduced $C^*$-algebra).

注意在有些情况下我们还可以研究对$\\mathbb\\Gamma$做另外一种完备化得到的$C^*$

代数,也就是它的包络$C^*$代数,

称为极大$C^*$代数。当$\\Gamma$为一个交换群的时候,代数$C^*_r(\\Gamma)$也就是$\\Ga

mma$的Pontrjagyn(庞特里亚金)对偶,

(紧)群$(\\hat{\\Gamma})$上的连续函数代数。如果更进一步$\\Gamma$是有限生成的,那么

$(\\hat{\\Gamma})$就是一个流形(一个环面)。

如果$\\Gamma$是非交换,但同时还保持是有限生成的话,我们可以很自然地把$C^*$代数$C

^*_r(\\Gamma)$看作一个非交换流形。

---交叉积(crossed product).当群$\\Gamma$通过自同构的方式在代数A上作用时,我们可

以通过下面的方法构造一个新的

代数:把$\\Gamma$的元素$g$在$A$上的作用记为$a\\mapsto g.a(a\\in A)$, 那么由$A$和$

\\mathbb\\Gamma$按照规则$u_g a=(g.a)u_g$

生成的代数就称为$A$和$\\Gamma$的交叉积$A>\\!\\!\\!\\lhd\\Gamma$.[在国内的一些代数书

上这也称为半直积]

我们感兴趣的是当$A$是流形$V$上的连续函数代数,而(有限生成)群$\\Gamma$是通过$V$

上的微分同胚的方式在$A$上作用的情形。

最简单的情况就是所谓“非交换环面”,有大量的计算都是以它为对象进行的。[Connes

发表的第一篇关于非交换

几何的文章$C^*$-alg\\`ebres et g\\'eom\\'etrie diff\\'erentielle. C.R. Acad.

sci. Paris S\\'er. A-B 290(1980), A599-A604

主要处理的就是这个例子,这篇文章在二十年后由他自己翻译成英文hep-th/0101093]

\oindent 我们记$U=\\{z\\in\\mathbb; |z|=1\\}$；群$\\Gamma=\\mathbb$在$U$上作

用是无理旋转$n.z=e^{2i\\pi n\\theta} z$,其中

$\\theta\\in \\mathbb\\backslash\\mathbb$.我们记$u=u_1,v:z\\mapsto z$,$v\\in

A=C(U)$.容易看到,

交叉积$A>\\!\\!\\!\\lhd Z$就是由两个满足$vu=e^{2i\\pi \\theta} uv$的酉算子生成的泛$

C^*$代数(universal $C^*$-algebra).

\oindent 这个代数被称为非交换环面的理由是：当$\\theta=0$的时候,我们得到一个交

换的代数,也就是由两个交换的酉算子生成的泛$C^*$代数

$C^*(\\mathbb^2)=C(\\hat{\\mathbb^2})=C(\\mathbb^2)$.

交叉积的一个非常重要的变体是下面的

---叶状结构(foliation)的$C^*$代数.这是一个基本的例子,在过去的二十多年里面一直

引导着这一领域的发展.

这里的对象是由V上一个叶状结构$F$的叶(leaf)的空间构成的“非交换流形”.如果我们

考察一个横截(开)集M,我们发现,

所需要研究的是$M$上在无穷远点趋于零的连续函数代数$C_0(M)$和一个微分同胚(拟)群

的交叉积.

为了把几何的工具应用到非交换的框架中去,我们尝试把流形$V$上的几何量通过V上的某

个函数代数表达出来,

而不涉及该代数的交换性.

以黎曼流形上的符号差算子(signature operator)或者Dirac算子作为模型,Alain

Connes提出把一个三元组$(H,A,D)$作为研究的出发点,

这里$H$是一个$Hilbert$空间,$A$是$H$上连续[也就是有界]线性算子代数$\\mathcal

(H)$的一个子代数,而$D$是$H$上的一个自共轭无界

算子,我们要求它具有紧的预解式(resolvant).这样的一个三元组被称为谱三元组[Conne

s自己的文章里面一般把这个写成$(A,H,D)$,

就是从代数$A$出发，考虑它在Hilbert空间$H$上的一个表示].我们要做的事情就是要对

我们的

这个三元组加上一定的条件使得计算可以进行,而且满足条件的例子要足够多.一般来说,

在不同的场合所赋的条件

是不同的,这也说明了这一理论的丰富多彩.

交换情形下的非交换几何

设$V$是一个紧Riemann流形,我们记V上的连续函数代数为$C(V)$.

设D是一个“好”的一阶椭圆微分算子,为明确起见,我们可以取$D$为符号差算子$D=d+d^

*$.我们将$D$视作在平方可积

的微分形式全体构成的Hilbert空间$H$上的无界自共轭并且具有紧的预解式的算子.我们

考虑$C(V)$通过[逐点]乘法在$H$上作用,

很容易得到,对于$f\\in C(V)$,算子

$[D,f]=Df-fD$

\oindent 当且仅当$f$是一个Lipschitz函数的时候才是有界的.并且$\\| [D,f]\\|$等于

$f$的Lipschitz常数.事实上,如果$f$是$C^1$的话,

那么$[D,f]$其实就是$df$对应的Clifford乘法算子.

在这里,我们注意到,上面的数据可以把$V$上的度量(也就是它的Riemann结构)完全确定

下来.实际上两点间的距离可以用

$$d(a,b)= \\sup \\{ |f(a)-f(b)|, f\\in C(V); \\|[D,f]\\|\\leq 1 \\}$$

\oindent 给出.同样我们也可以很容易地得到$V$上的$C^\\infty$结构,因为一个$f\\in

C(V)$是$C^\\infty$的当且仅当它在微分算子$\\delta:

f\\mapsto [|D|,f]$的$C^\\infty$定义域中,也就是说,对于任意的$n$,它在$\\delta$的$n

$次复合$\\delta^{\\circ n}$中.这里$|D|$

表示$D$的模,也就是满足$|D|^2=D^* D=D^2$的正算子.实际上,$|D|$是一个具有数值主

象征(scalar principle symbol)的拟微分算子

(对于一个余切向量$\\xi$就是乘上$\\|\\xi\\|$的乘法).$|D|$和一个零阶拟微分算子的交

换子是一个零阶的拟微分算子,因此是有界的.

应当注意到由我们的谱三元组可以得到一个零阶拟微分算子的代数！事实上,那些由$C^\\

infty(V)$的元素和$|D|$做交换子得到的

算子都具有数值主象征(在平坦的情形它们本身就是数值的).为了得到在[微分]形式丛上

作用的零阶微分算子,我们只需考虑

$H$上的包含$C^\\infty(V)$和以及所有交换子$[D,f](f\\in C^\\infty(V))$,并且对于和$

|D|$的交换子作用稳定的最小的子算子代数,记为

$\\mathcal_0$. 我们也容易找到阶为[复数]$m$的拟微分算子:就是那些形为$P(D^2+1

)^{m/2}$的算子,其中$P\\in \\mathcal_0$.

现在,我们要给出一个由谱三元组出发直接可以定义的强大的工具:非交换留数,或者叫Wo

dzicki留数/

拟微分算子P的留数由一个“局部公式”给出:

$$res P=(2\\pi)^{-\\dim V}\\int_V s_P$$

这里$s_P$是一个由$P$的(全)象征给出的$V$上的测度:对于$x\\in V$, $s_P(x)$是$P$(

在$V$的任何一个坐标卡里面)的$-\\dim(V)$阶象征在

$x$点的余切空间的球面上的平均.这个留数有很多的阐述方式.对于我们来说,最好用的

是下面这个:用$Tr$记$H$上迹类算子(trace class operator)

理想上的迹.那么在$\\Re(z)$足够大的时候(比如$\\Re(z)> \\dim(V)+m$,其中$m=-\\Re(-P\\

text{的阶}))$有定义的函数

$$z\\mapsto Tr(P(D^2+1)^{-z/2})$$

\oindent 具有一个到$\\mathbb$上的仅有单重极点的亚纯延拓.这样$res(P)$就是这

个函数在0点的留数.重要的是,Wodzicki留数由我们的谱三元组

完全确定,而且这个留数是一个迹: 对于任意两个拟微分算子,我们有 $res PQ=res

QP$.同时,这还是$V$上的拟微分算子代数上唯一的

迹.

由Wodzicki留数,我们希望能够把$V$的基本闭链(fundamental cycle),也就是$V$上最高

次微分形式的积分,表示出来.我们假设

$V$的维数$n$是4的倍数,在这种情况下,微分形式丛是两个子丛(Hodge *算子的特征空间

)的正交直和$ E_-\\oplus E_+$, 而符号差算子

在这一分解下是奇(impair)的(它把$E_+$映到$E_-$,把$E_-$映到$E_+$).我们用$\\varep

定义的分次(graduation)算子,其中$\\xi_\\pm$是$E_\\pm$的一个截面.对于$f_0,f_1,\\dot

s,f_n \\in C^\\infty$,我们有

$$\\int_V f_0 df_1 \\dots df_n =\\pi^n res(\\varepsilon f_0 [D,f_1]\\dots

[D,f_n](D^2+1)^{-n/2}).$$

\oindent 在这个公式中出现的算子$\\varepsilon f_0 [D,f_1]\\dots

[D,f_n](D^2+1)^{-n/2}$是$-n$阶的. 这些算子的Wodzicki留数也可以被看作

一个Dixmier迹,这是一个定义在比迹类算子稍大一点的算子理想上的一个正定迹.

--

--------------------------------

Cogito Ergo Sum.

非交换几何的公理

对于交换情形的讨论使我们可以把加在谱三元组上的条件明确下来:

a) $A$中使得$[D,f]$有界的元素$f$构成一个稠密集.因为$D$的预解式是有界的,这就是

由Baaj-Julg建立的Kasparov理论的一个

无界的版本.我们称$(H,A,D)$是一个无界Fredholm模.

\oindent 在这样一个模上可以定义一个解析指标(analytic index),就是一个由$A$的K

-理论到$\\mathbb$的态射(morphism).

一个自然的问题就是计算这个同态.

b)$D$的预解式在一个Schatten类$C_p$中,也就是说$(D^2+1)^{-p/2}$是一个迹类算子.

这时候我们称三元组$(H,A,D)$是

$p$-可和($p-$summable)的,并且定义$(H,A,D)$的维数为$\\inf\\{p;

(D^2+1)^{-1/2}\\in C_p\\}$.一个要弱得多的条件是

对于$s>0, \\exp(-s D^2)$是迹类算子.这个时候我们称$(H,A,D)$是$\\theta$-可和的.

\oindent 对于这两种情况,我们都可以写出一个指标公式(index formula): 我们可以

利用算子的迹写出代数$\\{a\\in A; [D,a]\\text{有界}\\}$上的一个

循环上链(cyclic cocycle),它将起到Atiyah-Singer公式中指标类的作用.

c)我们可以加更多的限制,比如可以假设:

--$(H,A,D)$是$p$-可和的；

--$A$中所有对于导子$\\delta: f\\mapsto [|D|,f]$光滑$(C^\\infty)$的元素构成一个

稠密子代数$\\mathcal$；

--对于$\\mathcal(H)$中包含$\\mathcal$以及所有交换子$[D,f](f\\in

\\mathcal)$,并且对于$\\delta$作用稳定的最小的子代数里的元素$P$,

对$\\Re(z)$足够大的时候定义的函数$z\\mapsto Tr(P(D^2+1)^{-z/2})$在整个复平面$\\m

athbb$上有一个只有单重极点的亚纯延拓.

\oindent 在这种情形下,我们可以用形如$z\\mapsto Tr(P(D^2+1)^{-z/2})$的函数的亚

纯延拓的留数把指标公式写出来；而既然这个公式是

完全用留数写出来的,因此它就具有某种“刚性”:如果我们在$D$上加上一个有限秩算子

的扰动,公式不变.对于流形上一个

(拟)微分算子$D$的情形,这个公式只和$D$的全象征有关,我们称这个公式是局部的.

d)在有些时候,我们可以把“算子$D$是一个一阶微分”这一事实表达出来.为此我们说$[

D,f]$是局部的.在“交换”几何的情形下,

这种局部性表现为$[D,f]$和函数对应的乘法算子是可交换的；但是很显然的这个定义在

非交换的框架下不好使:代数$\\mathcal$的元素本身

必须是局部的.受到Tomita理论的启发,Connes给出了一个局部性的非交换表述:我们设有

一个共轭线性算子$J:H\\rightarrow H$满足

$J^2=\\pm id$并且 $J\\mathcalJ^$和$\\mathcal$可交换.我们说$T\\in

\\mathcal(H)$是局部的,如果$T$和$J\\mathcalJ^$

可交换.在$H$是流形$V$上的纤维丛$S$的$L^2$截面空间的交换情形下,$J$就是$S$的一

个实结构,而$J\\mathcalJ^=\\mathcal$.

\\heiti{最后我们来讨论三个非交换的例子}\\songti

1.有限生成的离散群$\\Gamma$

我们取$H=\\ell^2(\\Gamma),A=C^*_r(\\Gamma)$在上面通过平移(translation)作用;算子$

|D|$就是算子$\\xi\\mapsto \\ell \\xi$,

其中$\\ell: \\Gamma\\rightarrow \\mathbb_+$是一个长度函数,也就是说它满足$\\ell(

gh)\\leq \\ell(g)+\\ell(h)$.

注意到 $u_g^ |D| u_g- |D|$是一个连续的乘法算子,它的模为$\\ell(g)$,所以

$[|D|,u_g]=u_g(u_g^|D| u_g- |D|)$

\oindent 也是连续的.与此同时,可以证明$(H,A,|D|)$是p-可和的当且仅当群$\\Gamma$

(对于长度$\\ell$而言)是多项式增长的,

因此是几乎幂零的[这是Gromov-Milnor定理,几乎幂零即指有一个有限指数的幂零子群].

在另一方面,当$\\ell$

是词的长度的时候,这个模总是$\\theta$-可和的.

\oindent 我们只构造了$D$的模$|D|$.它给出了关于度量的信息,但是我们还需要$D$的

相位(phase)的信息(这是用来决定指标的).

在有些情况下,这是可以给出的.比如当群$\\Gamma$在一棵树(tree),或者一个Bruhat-Tit

s厦(building)上作用的时候,

我们就可以构造出相应的对象.

2.叶状结构的横截符号差算子

这是Connes与Moscovici合作在一系列文章中处理的对象.我们考虑一个相对简单的情形:

在一个$C^\\infty$的$n$维流形$M$上

有一个可数的微分同胚群$\\Gamma$.如果我们要在这个框架下构造符号差算子,那么所遇

到的第一个问题就是,一般说来,

$M$上不存在一个关于$\\Gamma$不变的度量,所以我们无法构造一个主象征关于$\\Gamma$

不变的椭圆微分算子.为此,Connes和

Moscovici考察$M$上所有度量构成的空间,也就是余切丛上所有标架的集合模掉$O(n)$的

作用得到的商.然后我们构造一个

对于$M$上所有微分同胚“几乎不变”的超椭圆(hypoelliptic)拟微分算子$D$.

\oindent 这个算子由公式$D|D|=Q$所刻划,其中$Q=d^*_V d_V-d_V d^*_V + d_t

+d^*_t$.这里$d_V$是一个“纵向(vertical)”(也就是

沿着纤维化$P\\rightarrow M$的纤维方向)的求导算子,而$d_t$是相对于这个纤维化的一

个“横截”求导算子.

\oindent 我们可以证明这样得到的三元组$(H,A,D)$满足上面c)中所列的所有条件.因

此我们就能够得到一个局部指标公式.

为了方便这个上闭链的计算,Connes和Moscovici引进了一个非交换也非上交换的Hopf代

数$\\mathcal_n$,它的元素是$\\mathbb^n$

上的“横截向量场”(transversal vector fileds),在这里起“量子对称群”(quantum

symmetry group)的作用.

注意类似的Hopf代数也被Connes和Kreimer用在组织重正化理论中的计算上.

3.非交换环面

在这个情况下,所有的计算都是明了的:我们要用的Hilbert空间是$H=\\ell^2(\\mathbb

^2)\\oplus\\ell^2(\\mathbb^2)$.

由满足交换关系$vu=e^{2i\\pi n\\theta} uv$的酉算子$u,v$生成的代数$A$在每一个部分

$\\ell^2(\\mathbb^2)$依同样的公式

$$u(E_{n,m})=E_{n+1,m}\\;\\;\\; v(E_{n,m})=e^{2i\\pi n\\theta} E_{n,m+1}$$

\oindent 作用,这里$(E_{n,m})_{n,m\\in\\mathbb}$是$\\ell^2(\\mathbb^2)$的标

准Hilbert基.算子$D$取为

D=\\Bigl{(} \\begin

0 & \\partial^*\\\\

\\partial & 0

\\end\\Bigr{)}

\oindent 这里$\\partial$是由$\\partial(E_{n,m})=(n+im)E_{n,m}$定义的算子.

\oindent 与此同时我们也有共轭线性算子$J$,在每个部分$\\ell^2(\\mathbb^2)$依

公式$J E_{n,m}=e^{2nmi\\pi\\theta}$作用.

这样算子$D$就按照上面d)的描述成为一个微分.

\oindent 这个例子给出了一些非常漂亮的计算,并且一直作为检验这一理论的大量工

具的试验场.其中有一些被证实是非常精细的,

样一个结果:如果$\\theta$是超越数的话,那么

非交换环面上的有限射影模的Yang-Mills作用量的临界值(critical value)和模的维数$

d$的形如$\\sum m_k(q_k\\thetq-p_k)=d,m_k,

p_k,q_k\\in\\mathbb,m_k>0,p_k\\theta-q_k>0$的分拆一一对应].

大量的自然的例子已经,或者正在被研究着.毫无疑问,我们仅仅处在这一理论发展的初始

阶段……