一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。

反比例函数定义

反比例函数表达式

自变量的取值范围

反比例函数图象

k的意义及应用

反比例函数性质(单调性 相交性 面积 图像 对称性 与正比例函数交点)

反比例函数的应用举例

画法

典型题目

反比例函数定义

形如函数y=k/x（k为常数且k≠0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数表达式

x是自变量，y是x的函数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^（-1） （即：y等于x的负一次方，此处x必须为一次方）

y=k\\x(k为常数且k≠0，x≠0）

若y=k/nx此时比例系数为：k/n

自变量的取值范围

① k ≠ 0；

②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数；③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

解析式　y=k/x 其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^（-1）

y=k\\x(k为常数(k≠0），x不等于0）

反比例函数图象

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

k的意义及应用

过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

反比例函数性质

单调性

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；

当k<0时，图象分别位于第二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

相交性

因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

面积

在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|

反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

图像

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

反比例函数图像不与x轴和y轴相交。y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

对称性

反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。

图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。

与正比例函数交点

设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

反比例函数的应用举例

【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．

分析：

要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．

解：∵ m, n是关于t的方程t^2+3t+k=0的两根

∴ m+n=-3，mn=k,

又 PO=根号13，

∴m^2+n^2=13，

∴(m+n^2-2mn=13，

∴ 9-2k=13．

∴ k=-2

当 k=-2时，△=9+2>0，

∴ k=-2符合条件，

【例2】直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：

（1）求双曲线的解析式

分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，

设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|，

根据矩形的面积公式知|m·n|=6.

画法

1）列表

如

x　...　-3　-2　-1　1　2　3　4　...

y　...　-4　-6　-12　12　6　4　3　...2)在平面直角坐标系中标出点

3）用平滑的曲线描出点

1.当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。

2.当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。

当两个数相等时那么呈弯月型。

典型题目

1、已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k≠0）

（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？

（2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。

解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k不等于零）有两个交点，即

-x+6=k/x 化简的x^2-6x+k=0 有两个交点 则方程有两个不同的解

即6^2-4k>0 所以k<9且k不等于0

（2）当0<k<9时 两交点在第一象限所以∠AOB是锐角 当k<0时 两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角

2、已知函数y=(m-1)x^(m^2-m-1).

（1）当m为何值时，y是x的正比例函数?

（2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？

解（1）正比例函数则x次数是1

m^2-m-1=1

(m-2)(m+1)=0

m=2,m=-1

系数不等于0

m-1≠0

所以m=2,m=-1

（2）反比例函数则x次数是-1

m^2-m-1=-1

m(m-1)=0

m=0,m=1

系数不等于0

m-1≠0

所以m=0

3、一矩形的面积为24cm^2，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。

解 面积x*y=24

函数表达式y=24/x(0<x)

矩形的各边长均为整数

可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24