定义

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即

∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）

这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

性质

性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ

性质2 （积分满足数成） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即

∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）

性质1与性质2合称为积分的线性性。

性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ

推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ

性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，

则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ

性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ

性质6 二重积分中值定理

设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ