二进位制是最简单、最基础的计数方式之一。生活中对二进制的掌握与运用，只须有一定的同异判别能力即可，对智力水平的要求比十进制低得多。不能因为电子产品广泛应用二进制逻辑最简单、最基本的特性而将它神秘化。

简介

概念辨析?

条件

起源发展

演变历史

原理剖析

简介

了解二进位制要先知道自然数，自然数及自然数记数法的一般定义出发，进行说明。自然数两种基本定义：一称为基数定义，表示个数；一称为序数定义，表示顺序关系。?

基数就是带单位的数量，是相对直观的概念，反映一种原始的抽象思维，记录实物对象的重复量，离不开实物对象，只需数个数的水平，如结绳计数，尚不需形成整体意识，对心智比较也不需有过多的要求，就像儿童都有过认得一些零散的数（个数），但分不清大小的经历一样，在人类掌握排序概念以前，基数概念是最原始的数的概念。基数定义的自然数没有排序功能，排序的概念则隶属于自然数的序数定义。这是自然数的两重天然属性。一般认为，在19世纪下半叶之前，数学界对其中的区别并没有清晰的认识。顺序关系是自然数序数定义的核心。对序数的认识和运用是人类智力水平的又一次飞跃。基数是实物对象的简单影射，序数则摆脱了实物对象的约束，需要比基数更进一大步的抽象能力和比较能力，并有自觉的全域观念。任何用来表示顺序的符号都是序数表示式，对使用者来说，都是自然数。如甲、乙、丙、丁，在生活中常用以表示顺序，这时就属于数的范畴，都是序数表示。甚至如座位三排五号也是序数，这种计数方法属于自然数表示方式中的非位值进位制，它的位值用专用符号“排”和“号”来表示。可见，用来表示个数或序的符号都是自然数。

根据符号的内部结构，自然数的表示法可分为非进位制、特殊位值进位制和位值进位制。非进位制是自然数的最原始的表示法，如简单结绳计数形式。特殊位值进位制是指使用了进位的概念但借助专用记号表示位值，没有通用的位值概念。如上面提及的三排五号就是这种表示法，‘三’与‘五’是不同位上的值，这里使用了进位的概念，并借助专用符号‘排’来表示进位，而不是直接利用基本符号本身的位置关系来表示进位，因此称为非位值进位制或特殊位值进位制。由于受专用进位符号的制约，这种表示法使用起来有明显的局限性。古代的很多计数法如埃及、希腊、罗马的计数法都属于这类进位制。比如古希腊半岛采用27个字母计数法，从1-9用九个字母表示，10-90 再用另外九个字母表示，100-900用剩下的九个字母表示，这种笨拙的特殊位值十进制计数法一直延续到文艺复兴前夕。?

位值进位制是先进的表示法，顾名思义，直接利用基本符号本身的位置关系来表示进位，即“它用同样的符号利用位置关系表示高位值”，因此称为位值进位制。由于使用了位值的概念，位值进位制原则上可以把自然数推至无穷而不会出现逻辑困难。用十个基本符号来表示就称为十进位制，用两个基本符号来表示就称为二进位制。

概念辨析?

由于所有数系的基础都是对象的可数性或有序性即自然数，因此自然数记数法随着数系的扩充，依次可以自然而然地成为整数、有理数、实数和复数的记数方式。对同一个数系来说，不同的记数方式是等价的，数系与记数方式之间不存在相互约束的关系。在讨论周易与二进位制这个问题时，二进制算术是一个常出现的提法，但它是一种概念不清的错误提法，因为算术法则是来自数系自身的逻辑内涵的一种操作规定，只与数系自身有关，与记数法则毫无关系。采用同样的记数法，只须对数系的定义进行一些简单修改，它的算术就会面目全非。可见，在讨论是否使用过二进制记数法这一问题的时候，把四则运算作为评判条件是错误的。?

另外，有人以是否存在用二进制表示的小数作为二进制发明的判据，显然也是错误的，因为记数法与数系之间不存在相互约束的关系，小数的发明远在十进位制之后就是一个例子。值得一提的还有二进制的基本符号问题。二进制记数法的基本符号只需且只能有两个基本符号，而这两个符号可以是约定的任意字符，0和1仅仅是符合要求的任意符号组合中的一组而已，这也是很容易引起想当然的误会。也许是因为我们对阿拉伯数字太熟悉了的缘故，常常会误解只有写成0和1形式的符号系列才是二进位制形式。其实，为了避免与十进制阿拉伯数字符号混在一起，现代运用中更多的是采用T(true)和Ｆ(false)或L(left)和R(right)作为基本符号。

条件

1．必须符合自然数定义，即必须是用来表示数量关系或顺序关系的符号体系。?

2．基本的符号是只有两个。

3．必须符合位值进位制的定义，即是否“用同样的符号利用位置关系表示高位值”，而不是另外引入专用进位符号。以上三个条件是一个符号体系称为二进位制体系的充分条件。

起源发展

从古到今的数学运算很大程度上是依靠了十进位制的伟大发明；而当今几乎主宰了生产和生活的一切领域的计算机靠的是二进位制才形成了它的千变万化。这两种进位制的发明和确定，都和古代中国人的探索、创造有关。正整数逢十进一位，逢百进二位，逢千进三位，这种以十为基数的十进位制，看起来是十分简单合理、自然而然的事情，但是人类还是经过艰辛探索才创造了这种进位制的。数字在中国出现，是在6000年前的新石器时代的晚期，那时用结绳、契木的方式计数。6000多年前的半坡遗址出土的陶片，上面已经出现了数字；距今4000年左右的陕西、山东、上海的出土文物中除表示个位的数字外，已经有10、20、30这样的记号，表示当时已经使用十进位制。殷商时代的甲骨文上的13个计数文字中，除九个可以确定是个位数之外，还有四个就是十、百、千这样的位值符号。甲骨文计数系统属于十进位制成法分群数列，这种数系由1—9九个数字和若干个十进位制的位值符号组成。计数时先将两组符号通过乘法结合起来以表示位值的若干倍，然后将分群后的位值符号组合（相加）起来。在出土的公元前13世纪的甲骨文中已经有“五百四十七天”的记载，《易经》中更有“万有一千五百二十”这样的记载。甲骨文的计数方式一直延续到现代。现代中国数字一二三四五六七八九，在唐代以前就已经形成，唐代还全面使用了大写数字壹贰叁肆伍陆柒捌玖零，用在比较正规的场合，又叫做“官文书数字”。在确立了十进位制之后，古代中国还对数的概念进行了扩展，创造出了分数、小数、负数的概念，虽然分数线、小数点、负号不是中国的发明，但是对数的性质的认识，对数的概念的拓展，还是古代中国的天才创造。

演变历史

中国数学史所讨论的内容基本上都属于算术范畴，在古代被称为算学，即布算之学，重于计算技巧。而中国古代数学是专指邵雍为代表的研究传统，即通过对抽象数的研究来探寻宇宙万事万物的内在逻辑。二进位制就是典型的代表，俗言中心中有数、定数就是这个数。伊川说：“数学至康节始入理也。”《四库全书提要》评述道：“物生有象，象生有数，乘除推阐，务完造化之源者，是为数学。”就是说：主张物的产生必有象为先导，象的产生必有数为基础，对数的关系进行深入探究，以达到穷尽造化演化规律的学问称为数学。上海古籍出版社《四库术数类丛书》出版说明指出：“(数学)实际是指据《周易》阴阳奇偶之数推衍出来的象数说。”

中国使用十进位制在世界最早。十进位制之所以在中国最早出现，和中国固有的文化是分不开的，汉字是方块字而不是拼音文字，极大地促进了十进位制的形成。据史料记载，古代巴比伦人一直像后来的罗马数码那样，用相加或累积计数，古埃及和古希腊也都是用特殊的记号来表示20、30、40等10的倍数，比如古希腊半岛采用27个字母计数法，从1—9用九个字母表示，10—90再用另外九个字母表示，100—900用剩下的九个字母表示，这种笨拙的特殊位值十进制计数法一直延续到文艺复兴前夕。印度人在公元6世纪才开始使用十进位制。而欧洲人正式采用十进位制的最早证据，是公元976年的一份西班牙文的抄本。十进位制是中国对人类作出的不可磨灭的重大贡献。

二进位制是电子计算机的运算基础，而二进位制的发明人是德国杰出数学家莱布尼（G.W.Leibniz,1646—1716），不过他发明二进位制是受了中国古代“先天八卦”的启发。易经八卦相传是伏羲画卦，周文王重卦，太公作爻辞，是一双鱼太极图，四周围绕有乾坎震艮巽离坤兑八卦，这八卦就是由长短划不同排列组合而成的符号。它的象征意义是无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦生六十四卦。每一卦都是由阳爻（—）和阴爻（- -）构成。如果以阳爻（—）为1，以阴爻（--）为0，按照二进位制的逢2进1的规则，则这从乾到坤的64卦均可以用0和1两个数字表示出来。如第一卦乾卦为111111＝63，第二卦为011111＝62，第三卦为101111＝61，这样排列下去，第六十二卦为010000＝2，第六十三卦为 100000＝1，最后一卦为000000＝0。统观这从乾到坤的六十四卦的排列，其二进位制数序排列恰好为从63—0的自然数顺序排列，真是天衣无缝，巧夺天工！当时，德国大数学家、微积分和数理逻辑的创始人莱布尼茨正在为创造一部乘法机而遇到困难，一筹莫展，正好他的朋友、到中国去传教的教士白晋（J.Bouvet,1655—1730）从中国归来，带来了《六十四卦次序图》和《六十四卦方位图》，莱布尼茨如获至宝，顿时感到阴阳两个对立矛盾的面千变万化的奇妙，对易经和八卦以及它最初的发明者伏羲充满敬意，受到点拨和启发，产生了他的二进位制的最早灵感。1703年莱布尼茨在《皇家科学院纪录》杂志发表了《二进位算术的解说——它只用0和1并论述其用途，以及伏羲氏所用的古代中国数学的意义》，论述了他的二进位制思想。他认为，“只有0和1的二进位制不但具有简洁的形式，更可以表示宇宙间所有的量。所有的数通过1和0的方式表达，是何等美妙！”早在莱布尼茨之前，北宋的哲学家邵雍（1011—1077）就在他研究《易经》的著作中提出了比较完备的二进位制思想,可惜他的二进位制思想没有传播开来。

原理剖析

自然数的概念在数学上一直被当做最明显，最基本的概念来应用，直到上世纪末，在数学的公理化方法发展的影响下，才提出“自然数是什么”的问题。基于自然数的两种功能层次，即表达个数的概念和表达顺序的概念，19世纪末出现了著名的康托尔基数公理和皮亚诺序数公理，从数学逻辑的角度对什么是个数和什么是顺序号作出定义。?

个数和顺序都是显而易见的概念。但从文明发展的角度来说，异同概念的出现是理性的起点，个数概念的出现是一个巨大进步，顺序概念的出现又是一个巨大的进步。对个数（基数）和顺序（序数）作出规范定义将大大方便文明史的研究，也有助于抽象数学本身的发展。?

基数就是个数，是最原始的、很直观的数的概念，判断掌握基数概念的标准是只需有一一对应地数个数能力，尚不要求形成整体意识，也不要求有一般的比较概念。自然数的基数理论，即康托尔基数公理，是以集合和一一对应的概念为基础来定义的。由于在定义中不能隐含顺序概念在里面，使用集合的概念来定义是非常巧妙的，但也相当拗口。?

给定两个集合A、B，如果存在一个规则f，对Ａ中的每一个元素a，在Ｂ中唯一确定b（即a在f下的像），而B中任一元素ｂ均由Ａ中某一相应元素a唯一确定，那么就说f是A到B的一个一一对应。存在一一对应的两个集合称为等价的，取定一个集合A，把所有与Ａ等价的集合放在一起，作成一个集合的类Ｗ，Ｗ中所有集合所共有的属性称为Ａ的基数，简言之，类Ｗ本身就称为Ａ的基数。集合的基数实际上就是集合中元素的个数。自然数的序数理论是利用两个的基本概念第一个与下一个以及四个公理来定义的。第一个通常可以记为1，不过不如记为n0更有普遍意义。所谓自然数（序数），是指满足以下性质的集合Ｎ中的元素：n0是Ｎ的一个元，它不是Ｎ中任何元的后继者，若n的后继者用n＋来表示，则对于Ｎ中的任意元n, n＋不等于n0。（注：n0是指定的顺序起点而不作证明）。对于Ｎ中任意元n, 存在而且仅存在一个后继者n＋。对Ｎ中任何两个元n和m, 若n＋＝m＋，则n＝m.４）Ｎ的一个子集Ｍ，若具有以下xi性质： n0属于Ｍ；对于任意m属于Ｍ，必有m+也属于Ｍ；则Ｍ＝Ｎ。