| 词条 | 二次曲线 |
| 释义 | 也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y的二元二次方程。 简介二次曲线second-degree curve 平面直角坐标系中x，y的二次方程所表示的图形的统称。常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线。因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到（见图），因此又称为圆锥截线。特殊情形时，二次方程可以分解为两个一次方程的乘积，这时，二次曲线就退化为两条直线，或者是两条相交直线，或者是两条平行直线，或者是两条重合直线，也包括两条共轭虚直线或者两条平行虚直线的情形。例如二次方程x2－y2＝0就表示两条相交直线x＋y＝0及x－y＝0；x2＋y2＝0就表示两条共轭虚直线（或说表示一个点）。通过对二次方程进行的讨论，可以将二次曲线分为三大类型：椭圆型，双曲型和抛物型。再细分，即可得上面提到的各种曲线，也包括退化成直线的情形，共有9种。圆作为椭圆的特殊情形包括在椭圆之中，而不单独算一种。通过坐标轴的适当的平移和旋转，可以把任意一个二元二次方程化简，从而区别出它表示9种曲线中的哪一种。也可以通过不变量由二次曲线方程的系数，直接判定它表示的曲线的种类。所谓不变量，是指方程的系数间的一个代数式，它的值不因坐标系的平移和旋转而改变。还可以通过二次曲线的方程，来讨论二次曲线的中心，直径和共轨直径，对称轴及渐近线等有关几何事项。 方程的化简中心曲线方程的化简对中心曲线F（x,y）=0，令O′（ ， ）为其中心，若将坐标原点平移至O′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为 （1） 由于 ， ∴ 全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x′， y′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1） 例1：化简二次曲线方程x²-xy+y²+4x-2y=0 解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0 取坐标变换公式 即 代入原方程有x′²+3y′²-8=0 即 无心曲线方程的化简对无心曲线F（x,y）=0，选取适当的θ角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即 方程简化为 由于 ∴ 有且仅有一为0，不妨设 =0 ，再配方有 作平移则方程最终简化为 （2） 由于 ∴ 从而无心曲线（2）关于x″轴对称，即x″轴是其一主直径，且x″州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。 可见以无心曲线的主直径作为x′轴，以过顶点且与主直径垂直的直线作为y′轴建立新系，则曲线的方程便简化为（2） 例2：化简二次曲线方程x²+2xy+y²+2x-2y=0 解：所给曲线的一主直径为x+y=-0，曲线的顶点为原点，取过顶点且与主直径垂直的直线x-y=0，并取坐标变换，为 即 代入原方程并化简为 线心曲线方程的化简对于线心曲线F（x,y）=0，取一中心 （ ， ），并作平移变换即可消去方程中的一次项，再选取适当的α角作旋转变换，还可消去交叉乘积项，最终方程简化为 由于 ∴ 有且仅有一为0，不妨设 ，则线心曲线方 程化简为 （3） 由于 ，∴曲线（3）关于x′轴对称，可见新坐标系的x′轴是其主直径，即以曲线的一主直径作为x′轴建立新坐标系，则在新系下，曲线的方程将简化为（3） 例3：化简二次曲线方程 x²-2xy+y²+2x-2y=0 解：可以验证所给曲线是线心曲线，其主直径为x-y+1=0 再取一与主直径垂直的直线x+y=0，作坐标变换 即 代入原方程并化简得 总结上述化简二次曲线方程的方法，可得如下结论： 选取适当坐标系，可使 中心二次曲线的方程的化简为 无心二次曲线的方程的化简为 线心二次曲线的方程的化简为 分类1°对于中心曲线，其方程可化简为（I）当 ，令 A= ，B= ，则（I）为 Ax²+By²=1 若A，B>0，令A= ，B= ，则（I）为 [1] ——椭圆 若A，B<0，令A=- ，B=- ，则（I）为 [2] ————虚椭圆 若A>0，B<0,令A= ，B=- ，则（I）为 [3] ————双曲线 同理当A<0，B>0时，也是双曲线 当 时，令A= ，B= ，则（I）为 [4] ———— 一点 同理，若A，B<0,则（I）也为一点 若A>0,B<0，令A= ，B=- ，则（I）为 [5] —————二相交直线 同理 若A<0，B>0,则（I）也为二相交直线。 2°对于无心曲线，其方程可化简为（II），令 P= ，则（II）为[6] y²=2Px ——————抛物线 对于线心曲线，其方程可化简为（III），令 k= ，则（III）为 y²=k 若k>0，则（III）为 [7]y²=a² ————————二平行直线， 若k<0，则（III）为 [8]y²=-a² ————————二平行直线， 若k=0，则（III）为 [9]y²=0 ————————二重合直线。 |
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