简介

详细释义

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Category: 数论

二次互反律是经典数论中最出色的定理之一。二次互反律涉及到平方剩余的概念。 设a,b是两个非零整数，我们定义雅克比符号(a/b)：如果存在整数x, 使得b整除（x^2-a），那么就记(a/b)=1; 否则就记（a/b）=-1。 在b是素数时这个符号也叫做勒让德符号。

高斯二次互反律：

设p和q为不同的奇素数，则(p/q)(q/p)=( − 1)^[(p − 1)(q − 1) / 4]

二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。高斯在1796年作出第一个严格的证明，随後他又发现了另外七个不同的证明。高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。有人说：“二次互反律无疑是数论中最重要的工具，并且在数论的发展史中处于中心地位。”

高斯之後雅克比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛比纽斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有150个不同的的证明。二次互反律可以推广到高次互反律。

二次互反律被称为“数论之酿母”， 在数论中处于极高的地位。 后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。

二次互反律的一个特殊情形：2永远是8n±1型质数的平方剩余，永远是8n±3型质数的非平方剩余。

证明：（4n）！（mod8n+1）≡（2*4*6*8*……*（4n））*（1*3*5*7*……*（4n-1））

≡（2^（2n）*（1*2*3*4*……*（2n）））*（（-8n）*（-8n-2）*……*（-4n-2））

≡（2^（2n）*（1*2*3*4*……*（2n）））*（（- 2）^（2n）*（（4n）*（4n-1）*……*（2n+1）））

≡2^（4n）*（4n）！

∴当8n+1是质数时，必有2^（4n）≡1（mod8n+1），

∴2永远是8n+1型质数的平方剩余，其余的可类似证明。

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设为不同的奇素数，则=( − 1)(p − 1)(q − 1) / 4

二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩馀的判别问题。高斯在1796年作出第一个严格的证明，随後他又发现了另外七个不同的证明。高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。有人说：“二次互反律无疑是数论中最重要的工具，并且在数论的发展史中处于中心地位。”

在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。

二次互反律揭示了方程 可解和 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。

欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明。在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”。私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。

高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。