| 词条 | 二次根式 |
| 释义 | 相关知识链接1、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 2、正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用√ā(a≥0)来表示。 二次根式的定义和概念： 1、定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）被开方数必须大于等于0。 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。其中，a叫做被开方数。 二次根式√a的简单性质和几何意义1）a≥0 ; √a≥0 [ 双重非负性 ] 2）（√a）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3) c=√a^2+b^2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。 二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√6、√7、√a（a≥0）、√x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√16、√25、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母。 二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质 √ab=√a·√b（a≥0，b≥0） 2. 乘法法则 √a·√b=√ab（a≥0，b≥0） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3.除法法则 √a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式! 二次根式的加法和减法1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 例如：2√5+√5=3√5 4、有括号时，要先去括号。 二次根式的混合运算1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 6字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。 分母有理化分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b 如图 II.分母是多项式 可以利用平方差公式 如1/√a+√b=√a－√b/(√a+√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图根式中分母不能含有根号，且要变为最简的才行。 整式的运算 1、幂的运算法则（m,n是整数）： （1）a×a=a²； （2）a²÷a=a；（a≠0） （3）(a)²=a² （4）(ab)²=a²b² 2、整式的运算（略） 3、乘法公式： (a+b)(a-b)=a^2-b^2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 (a+b)( a^2-ab+b^2) =a^3+b^3 (a-b)( a^2+ab+b^2) =a^3-b^3 (三)多项式的因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解 1、提公因式法； 2、公式法： a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 3、十字相乘法或求根法分解二次三项式： ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 二次根式的应用二次根式的应用主要体现在两个方面：1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。 【典型例题】小丽想用一块面积为400c㎡的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300c㎡的长方形纸片，使它的长、宽比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁你能帮他解决吗？ 【解析】√400=20cm，设长方形的长是3x，则宽是2x，由此可得 3x×2x=300， x^2=50，x=√50>√49=7。长方形的长为21cm，21cm>20cm，所以不能裁出来。 |
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