二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树。 它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树： （1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； （2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； （3）左、右子树也分别为二叉排序树；

二叉排序树的查找

插入和删除

插入算法

删除结点

二叉排序树的查找

步骤：若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。

否则，若小于根结点的关键字值，递归查左子树。

若大于根结点的关键字值，递归查右子树。

若子树为空，查找不成功。

平均情况分析（在成功查找两种的情况下）

在一般情况下，设 P（n，i）且它的左子树的结点个数为 i 时的平均查找长度。如图的结点个数为 n = 6 且 i = 3; 则 P（n,i）= P（6, 3） = [ 1+ ( P(3) + 1) * 3 + ( P(2) + 1) * 2 ] / 6

= [ 1+ ( 5/3 + 1) * 3 + ( 3/2 + 1) * 2 ] / 6

注意：这里 P(3)、P(2) 是具有 3 个结点、2 个结点的二叉分类树的平均查找长度。 在一般情况，P（i）为具有 i 个结点二叉分类树的平均查找长度。 P(3) = （1+2+2）/ 3 = 5/3

P(2) = （1+2）/ 2 = 3/2

∴ P（n,i）= [ 1+ ( P(i) + 1) * i + ( P(n-i-1) + 1) * (n-i-1) ] / n

n-1

∴ P（n）= ∑ P（n,i）/ n <= 2(1+I/n)lnn

i=0

因为 2(1+I/n)lnn≈1.38logn 故P(n)=O(logn)

插入和删除

与次优二叉树相对，二叉排序树是一种动态树表。其特点是：树的结构通常不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字等于给定值的节点时再进行插入。新插入的结点一定是一个新添加的叶子节点，并且是查找不成功时查找路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子结点。

插入算法

首先执行查找算法，找出被插结点的父亲结点。

判断被插结点是其父亲结点的左、右儿子。将被插结点作为叶子结点插入。

若二叉树为空。则首先单独生成根结点。

注意：新插入的结点总是叶子结点。

//在二叉排序树中插入查找关键字key

void InsertBST(t，key)

{

if(t==NULL)

{

t=new BiTree;

t->lchild=t->rchild=NULL;

t->data=key;

return;

}

if(key<t->data )

InsertBST(t->lchild,key);

else

InsertBST (t->rchild, key );

}

//n个数据在数组d中，tree为二叉排序树根

void CreateBiTree(tree,d[ ],n）

{

tree=NULL;

for(i=0;i<n;i++)

InsertBST(tree,d);

}

最小值二叉树c例程：

#include<stdio.h>

struct priorityqueue

{

int capacity;

int size;

struct priorityqueue *elements;

}*tryit;

struct priorityqueue *initialize ( int maxelements )

{

struct priorityqueue *h;

h = malloc ( sizeof ( struct priorityqueue ) );

h -> elements = malloc ( sizeof ( int ) * ( maxelements + 1 ) );

h -> capacity = maxelements;

h -> size = 0;

h -> elements[0] = -23767;

return h;

}

void insert ( int x , struct priorityqueue *h )

{

int i;

for ( i = ++h -> size ; h -> elements[ i / 2 ] > x ; i /= 2 )

h -> elements[ i ] = h -> elements[ i / 2 ];

h -> elements [ i ] = x;

}

int deletemin ( struct priorityqueue *h )

{

int i , child ;

int minelement , lastelement;

minelement = h -> elements[ 1 ];

lastelement = h -> elements[ h -> size-- ];

for ( i = 1 ; i * 2 <= h -> size ; i = child )

{

child = i * 2;

if ( child != h -> size && h -> elements[ child + 1 ] < h -> elements[ child ] )

child++;

if ( lastelement > h -> elements[ child ] )

h -> elements[ i ] = h -> elements[ child ];

else

break;

}

h -> elements[ i ] = lastelement;

return minelement;

}

main()

{

tryit = initialize ( 10 );

insert ( 4 , tryit );

insert ( 5 , tryit );

insert ( 10 , tryit );

insert ( 3 , tryit );

printf ( "%d\" , deletemin ( tryit ) );

printf ( "%d\" , deletemin ( tryit ) );

printf ( "%d\" , deletemin ( tryit ) );

printf ( "%d\" , deletemin ( tryit ) );

getch();

}

删除结点

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左子树，*s为*f左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。