| 词条 | 厄米算符 |
| 释义 | 摘 要量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。算符的厄米性不仅对算 符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制。文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性 质以及与经典的对应，接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制。 关键词算符；厄米性；物理量；波函数 引言量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。因此，要弄清物 理量的特点，研究厄米算符的性质就显得尤为重要。此外，在很多量子力学教材中，算符的厄米性通常被 认为主要是对算符的限制[1]，而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制，甚至有很多不准确的表述 （后文将细述）。其实，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。 厄米算符的定义及性质其中ϕ ψ 、是任意波函数，则称算符F ∧ 为厄米算符。 厄米算符具有一些重要的性质： （1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符； （3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;(4)厄米算符的本征函数具有完备性。 量子力学中力学量用厄米算符来描述量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该 由实验来判定。“量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义： 其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的； 其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是 有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使 本征矢变成超完备的，以致不便于使用[2]。 其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值 的平均值可用（ψ 已经归一化）来表示； 其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。基于以上三点， 量子力学中的力学量用厄米算符来描述。 厄米算符与经典的对应我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵 呢？从厄米算符是定义出发： 但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力 学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、 自旋、同位旋等，也都是力学量[3]。 算符的厄米性对波函数的限制实验上的可观测的物理量都是厄米算符，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。 接下来，下文将在一些文献 [4] [5] [6]的基础上，以常见的几种一维算符为例，对此做一些探讨。 量子力学中的常见算符量子力学中的常见算符有坐标算符、动量算符、能量算符、角动量算符等等，对于宇称算符、自旋算 符以及同位旋算符，这里我们不讨论。从这些常见的算符出发，分析它们对波函数的限制，再利用厄米算 符的一些性质（如两厄米算符之和仍为厄米算符，可対易的两厄米算符之积仍为厄米算符）来研究更广泛 的算符，以期得到普遍的结论。 坐标算符满足厄米算符定义式（1），即对坐标算符来说，算符的厄米性对波函数无附加限制。推广到一般的实函 小结从上面的对坐标算符、动量算符、能量算符等的讨论可以看到，算符的厄米性对波函数也有一定的 限制，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。 |
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