垛积问题

定义及公式

垛积问题

朱世杰在四元玉鉴中记载了许多高阶等差级数的问题，他列下了一串美丽的级数求和公式：

1.菱草垛（等差数列）

1+2+3+……+n=n（n+1）/2! 即Σr= n（n+1）/2!

2.三角垛（二阶等差数列）

1+3+6+……+ n（n+1）/2= n（n+1）（n+2）/3!

即Σr（r+1）/2! = n（n+1）（n+2）/3!

3.撤星形垛（三阶等差数列）

1+4+10+……+ n（n+1）（n+2）/3!= n（n+1）（n+2）（n+3）/4!

即Σr（r+1）（r+2）/3! =n（n+1）（n+2）（n+3）/4!

4.三角撤星形垛（三阶等差数列）

1+5+…+ n（n+1）（n+2）（n+3）/4!= n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）/5!

即Σr（r+1）（r+2） （r+3）/4! =n（n+1）（n+2）（n+3） （n+4）/5!

5.三角撤星更落一形垛（五阶等差数列）

1+6+21+……+ n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）/5!

=Σr（r+1）（r+2） （r+3）（r+4）/5!

= n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）（n+5）/6!

定义及公式

我们可以看出他的三角垛公式是以菱草垛的和为一般项，而

撤星形垛是以三角形垛的和为一般项，并且连绩以新级数的

和为一般项，求出另一新的高阶等差级数的公式。从他用「

落一形垛」、「更落一形垛」的名称，可以知道，他是将前

式的ｒ项和是後式的第ｒ项，即前式中到第ｒ层为止的垛积

降落一层是後式垛积的第ｒ层。

从以上的一串公式，朱世杰归纳得一般公式：

Σr（r+1）（r+2）……（r+p-1）/p!

=n（n+1）（n+2） ……（n+p-1）/（p+1）!