定义

对数的历史

推导(1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N) 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M))

函数图象

性质

线性坐标和对数坐标间的转化

采用对数坐标的例子

自然对数，

定义

若一个数x（x>0）经过一个对数函数作用后变为y,如：y=ln（x），那么由x和y组成的二维向量（x,y）在二维坐标系下对应的点的集合，就称为一个点A（x,y）的对数坐标。在二维直角坐标系下，x称为点A的横坐标，y称为点A的纵坐标。

定义： 若a^n=b(a>0且a≠1)， 则n=log(a)(b)

对数的历史

约翰·纳皮尔/约翰·奈皮尔（John Napier，1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。 Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（Merchiston Castle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。 年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。 他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。 纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（"纳皮尔圆部法则"）和解球面非直角三角形的两个公式——"纳皮尔比拟式"，以及做乘除法用的"纳皮尔算筹"。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

7、1/（log(a)(b)）=log(b)(a)

推导

1、a^(log(a)(b))=b

因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、log(a)(a^b)=b

因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

与（3）类似处理 MN换成“M÷N ”由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

7、1/（log(a)(b)）=log(b)(a)

log(a)(b)的负一次方倒过去就是了log(b)(a)

函数图象

1.对数函数的图象都过(1,0)点。 2.对于y=log(a)(n)函数， ①当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减。随着a 的增大，图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动，但不超过X=1。②当a>1时，图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大，图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动，但不超过X=1. 3。与其他函数与反函数之间图象关系相同，对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称。

性质

性质一：换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

推导如下： N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 综合两式可得 N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因为N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

性质二：log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下： 由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数 log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1 在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数

线性坐标和对数坐标间的转化

两者间的转化只相当于做一个函数变换，比如将y=f(x)的画在纵轴为对数坐标的坐标图上，跟经过z=ln(y)=ln(f(x))变换的,z-x线性坐标上的图形状一样。特别注意的是在各自坐标轴上的是真数，不是求对数后的值。

采用对数坐标的例子

天狼50的K线图采用的是对数坐标系，纵向长度和股价涨幅的对数成正比。在普通坐标系中，所有当日涨跌金额相等的股票，其 K 线长度是一样的，比如所有自开盘至收盘上涨 1 元钱的 K 线具有同样的长度。可是，10元的股票涨1元和20元的股票涨1元，其上涨的幅度是不一样的，在对数坐标系中，只有当日涨跌幅（ % ）相等的 股票，其K 线才具有同样的长度，例如：所有自开盘至收盘上涨 10% 的股票，它们的 K 线在对数坐标中长度是一样的。对于一只股票而言，使用对数坐标系能够更真实地反映股价的上涨和下跌幅度。

自然对数，

因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。