对称变换的定义

正多边形的对称变换

对称变换的合成

对称变换的性质

对称变换的逆变换

多项式的对称变换

对称变换的定义

若一个平面图形K在平面刚体运动m的作用下仍与原来的图形重合，就说K具有对称性，m叫做K的对称变换。

正多边形的对称变换

1、正三角形在下面六个平面刚体运动中保持不变：

（1）恒等变换。记作I。

（2）关于对称轴r1所在直线的反射。记作r1。

（3）关于对称轴r2所在直线的反射。记作r2。

（4）关于对称轴r3所在直线的反射。记作r3。

（5）以重心O为中心转120° 的旋转，记作ρ1。

（6）以重心O为中心转240° 的旋转，记作ρ2。

正三角形的六个对称变换组成的集合记作D3，即D3＝{I,r1,r2,r3,ρ1,ρ2}。

2、正四边形在下面八个平面刚体运动中保持不变：

（1）恒等变换。记作I。

（2）关于对称轴r1所在直线的反射。记作r1。

（3）关于对称轴r2所在直线的反射。记作r2。

（4）关于对称轴r3所在直线的反射。记作r3。

（5）关于对称轴r4所在直线的反射。记作r4。

（6）以重心O为中心转90° 的旋转，记作ρ1。

（7）以重心O为中心转180° 的旋转，记作ρ2。

（8）以重心O为中心转270° 的旋转，记作ρ3。

正四边形的八个对称变换组成的集合记作D4，即D4＝{I,r1,r2,r3,r4,ρ1,ρ2,ρ3}。

对称变换的合成

一个平面图形的两个对称变换a与b的合成（先做变换a，再做变换b）仍然是这个平面图形的对称变换，记作b·a。

对称变换的性质

1、对于任意对称变换a与恒等变换I，都有a·I＝I·a。

2、一般地，平面图形的对称变换不满足交换律（除恒等变换外）。

3、平面图形的对称变换满足结合律。

对称变换的逆变换

1、若两个对称变换a、b满足a·b＝b·a＝I，那么b（或a）叫做a（或b）的逆变换，记作a^–1＝b（或b^–1＝a）。

2、b·a的逆变换是a^–1·b^–1。

多项式的对称变换

1、如果一个多项式F经过字母的替换仍与原来的多项式相等，那么就说F具有对称性，上述字母的替换叫做多项式的对称变换。

2、设一个多项式的下标组成的集合为{1,2,3,…,n}，σ是n元对称群Sn中的一个置换，如果对多项式的下标进行置换σ后仍与原来的多项式相等，那么置换σ就叫做多项式的对称变换。

3、如果一个n次多项式的对称变换是Sn中的全部变换，这样的多项式叫做对称多项式。