华罗庚的名著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。

《堆垒素数论》

素数定理

7.2 概率论(帕斯卡的解法 费马的解法 随机现象)

7.3 数理统计

《堆垒素数论》

华罗庚当年发现陈景润,就是因为陈景润在华罗庚写的《堆叠素数论》中发现了一个错误,并且写信告诉了他。而那时候,陈景润就是一个默默无闻的小人物。按这里的说法,正是一个“民间科研者”。

数论与或然数学的发展

7.1数论

7.1.1素数分布

费马数Fn = +1, n = 0,1,2,…

n = 0,1,2,3,4时,Fn是素数.人们进而希望解决的问题是:是否存在着无限多个费马素数.这也是一个至今未解决的难题

梅森数Mp = 2p-1,其中p为素数

已知道的梅森素数共34个,其中从p =521开始的素数Mp是1952年以后用计算机陆续发现的

检验梅森数是否为素数的方法称为卢卡斯―莱默检验,例如, 用卢卡斯―莱默检验判断M5是否为素数,因M5=25-1=31,于是可作下述计算:

U(0)=4,

U(1)=(42-2)(mod 1)=14(mod31)=14,

U(2)=(142-2)(mod31)=194(mod31)=8,

U(3)=(82-2)(mod31)=62(mod31)=0

由于U(3)= 0,M5必为素数.

利用因数表研究素数

拉恩于(1659年)发表了2.4万以内的因数表;

佩尔(1668年)扩大至10万;

费尔克尔(1776年)给出了40.8万以内的一切数的因数表,

19世纪不少学者算出了1000万以内的所有数的因数表,其中布拉格大学的库利克为此花费了20年的业余时间

素数定理

若用π(n)表示不超过n的素数的

个数.当n→+ 时, =+ .人们可以发现:顺着自然数的序列,越往后素数的"密度" π(n)/ n就变得越小

7.1.2 陈氏定理―数学皇冠上的明珠

哥德巴赫猜想(1742年)

每个偶数都是两个素数之和;每个奇数都是三个素数之和

哥德巴赫猜想的研究进展

数学家哈代和李特尔伍德(英国,1923年)在广义黎曼猜想正确的前提下,有条件地证明了每个充分大的奇数都是三个奇素数之和以及几乎所有偶数都是两个奇素数之和.

维诺格拉多夫(1937年),无条件地证明了奇数哥德巴赫猜想,即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和

布朗(挪威1919年)证明了:每个大偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和(记为9 + 9,记号k + l表示大偶数分解为不超过k个奇素数的积与不超过l个奇素数的积之和,下同)

布赫夕塔布的4 + 4(1940),瑞尼的l+c (c为一不确定大数)(1948)和库恩的a+b (a+b≤6)(1954);

王元的2+3(1957)和潘承洞的1+5(1962),到1965年,欧洲数学家邦别里等三人差不多同时证明了1 + 3;1966年,中国数学家陈景润宣布证明了1+2(1973年发表详细证明)

陈景润(1933~1996)简介

图7.1华罗庚(右)与陈景润(左)

7.1.3费马最后定理

费马猜想:对每个正整数n≥3,方程xn + yn = zn均没有正整数解(x, y, z).

费马本人利用无限下降法证明了n=4时,费马猜想成立.

1825年年仅20岁的德国数学家狄利克雷和年过七旬的法国数学家勒让德各自独立地证明了n = 5的情形,1839年法国数学家拉梅证明了n = 7的情形.

欧拉的整数分解的"定理":

由a + b 形式的数所形成的数系(记为 ,a,b为任意整数)中,有唯一因子分解定理成立,即每一个整数都可唯一地分解为这个数系中数的乘积.

后来才知道,对形如 的数系,唯一因子分解定理并不总是成立的,例如在数系 中,6 = 3×2 =(1+ )(1- ),就有两种分解方式.事实上,能保证唯一因子分解定理成立的数系 只有9种

德国的数学家库默尔(1810~1893)利用理想数的概念,证明了对于 100以内的所有素数,都能使费马猜想成立.

志村-韦伊―谷山猜想――费马猜想的等价命题

怀尔斯的论文"模曲线和费马最后定理" (1994年)――费马猜想终于成为定理,被称为费马大定理或费马最后定理

7.1.4 让我们教猜想吧

费马猜想是只"会下金蛋的鹅"

1966年菲尔兹奖获得者,英国数学家阿蒂亚(1929~)认为:"与其它自然科学的情况一样,数学中的一些发现也要经过几个阶段才能实现,而形式证明只是最后一步.最初阶段在于鉴别出一些重要的事实,将它们排列成具体含义的模式,并由此提炼出看起来很有道理的定律或公式.接着,人们用新的经验事实来检验这种公式.只是到了此时,数学家们才开始考虑证明问题."

958年菲尔兹奖获得者,突变理论的创立者,法国数学家托姆用半开玩笑的态度说:"严格性是一个拉丁名词.我们会想起僵死(rigormorits),即僵化的尸体.我要把数学分为以下的三类:第一,以婴儿摇篮为标记.这是'活的数学'允许改变,澄清,完成证明,反对,反驳.第二,以十字架为标记.这是坟墓上的十字架.作者声明它已完全严格,具有不朽的正确性.这类工作将构成'坟墓数学'.第三,以教堂为标记.这是外部的权威,由高级教士组成,判断哪些工作已成为'坟墓数学'."

推测数学家的成功范例之一是印度数学家拉马努金(1887~1920)

波利亚认为,在数学教育中,"证明与猜想,这两类推理即论证的与合情的"都必须教给学生,"在有些情况下教猜想比教证明更为重要."因此,波利亚强烈的呼吁:"让我们教猜想吧!"

7.2 概率论

7.2.1 点的问题及数学期望

概率论源于15世纪下半叶的博奕问题的研究.

点的问题(1654年)

在两个技巧相当的赌徒A和B之间进行赌博,A获得2点或2点以上时为获胜者,B则需获得3点或3点以上时为获胜者.如果通过四次投骰子后就停止赌博,问此时如何分配赌金.

帕斯卡的解法

帕斯卡利用自己对杨辉三角(见第二章)的研究这样解决这个问题:如果用 表示0出现四次的情况数, 表示0出现三次的情况数等等.于是上述点问题的解是:

( + + ):( + )=(1+4+6):(4+1)=11:5.

在一般情况下,若A需要至少m点取胜,B需要至少n点取胜,则可选择扬辉三角的第m+n行,求出该行中的前n个元素和α与后m个元素和β,并按α:β之比来分配赌金.

费马的解法

分别用0,1代表A,B在一次投骰子时成为获胜者,然后计算0,1两种字母在每次取4个的16种排列:

0000 0001 0110 1101

1000 1100 0101 1011

0100 1010 0011 0111

0010 1001 1110 1111

在这16种排列中,0至少出现2次的情况有11种,而1至少出现3次的情况有5种.由此费马认为,赌金应按11:5来分配.

数学期望"概念的的产生(荷兰数学家,物

理学家惠更斯,1657年)

赌局开始之前,对每一个赌徒来说就已有了关于结局的一种"期望",如果共有N种等可能的结果,其中,n种结果使他获得赌金为a,其余结果使他获赌金为b,则他的期望为

7.2.2 概率理论的发展

随机现象

随机现象从个体上看,似乎并没有什么规律可言,但当它们大量出现的时候,在总体上就会呈现出某种规律,即大数规律.

伯努利大数定理(1713年):

若p是出现单独一次事件的概率,q是不出现该事件的概率,则在n次试验中该事件至少出现m次的概率,等于二项式(p+q)n的展开式中从pn项到包括pmqn-m为止的各项之和

棣莫弗―拉普拉斯定理.又称为"中心极限定

理"

拉普拉斯(1812)明确表述了概率论的基本定

义和定理.给出了概率的古典定义,广泛应用了分析工具处理概率的问题,将以往零散的研究成果系统化,并将概率论的研究方法从组合技巧发展到分析方法,使概率论研究进入了一个新的发展阶段.

19世纪下半叶,俄国数学家切比雪夫

(1821~1894)与他的学生马尔可夫(1856~1922)利用极限理论研究概率论,取得了突出的成就.建立了关于独立随机变量序列的大数定律,使贝努利和泊松的大数定律成为其特例.切比雪夫还将棣莫弗―拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理."马尔可夫链"则是概率论中的重要理论

概率论在整个18与19世纪成了热门学科,

7.2.3 概率论的公理化

贝特朗(法国,1899年)提出的概率论悖论,将矛头直指概率论基本概念

20 世纪初,由勒贝格创立的测度论和积分论为概率的研究提供了新的手段

柯尔莫戈洛夫(前苏联,1933年)建立概率论的公理化体系

7.3 数理统计

数理统计是通过样本数据的分析预测整体状态的数学理论与方法.该分支研究的数据带有随机性,因此,它与概率研究有着密切的联系

数理统计则起源于17至18世纪地质与生物进化统计的研究,在20世纪形成了用数学方法研究统计规律的专业分支,是形成较晚的数学分支

英国数学家,生物学家皮尔逊(1857~1936)

是使用数学方法系统研究生物统计的第一人.他潜心研究数据的分布理论,并先后提出标准差,正态曲线,概率,相关等一系列数理统计学名词和概念.致力于大样本的研究,在第一次世界大战期间,皮尔逊还用统计方法处理过大量的与战争有关的特殊计算.

英国数学家,化学家戈塞特(1876~1937)

他在酿酒公司担任酿造化学技师期间,开创小样本统计理论, 1908年,提出了t分布函数,t检验,此举成为统计推断理论发展史上的里程碑.

美国数学家弗歇(1890~1962)

他是另一个数理统计的奠基人.他从事数理统计在农业科学和遗传学中应用的研究.开创了试验设计,方差分析,并确立了统计推断的基本方法.20世纪30―50年代,弗歇成为数理统计学研究的中心人物并建立了自己的学派.他所研究的成果,实用价值却很大.在他的手里,数理统计学脱离生物计量学的范围获得独立.他所提出的z分布由他的学生改进后被称为F分布(用他的名字Fisher的第一个字母命名),现在广泛使用的方差分析,实验设计,参数估计

1928年原籍波兰的美国数学家奈曼(1894~1981)和K·皮尔逊之子E·皮尔逊建立了严格的假设检验理论.

1946年瑞典数学家克拉梅尔出版了《统计数学方法》,这部书收集了半个多世纪以来的数理统计研究成果,它标志着数理统计作为一门独立的数学分支正式确立.

第二次世界大战中,由于军事的需要,数学家沃尔德(1902~1950)创立了"序贯分析法",许多数理分支,如参数估计,都受到这种理论的影响而得到发展.

1940年代之后,数理统计的学派开始多元化,美国逐渐成为又一个数理统计学的研究中心.