证明

定比分点补充公式

补充公式证明

已知线段PQ上有一点T,且PT/PQ=a,AB是与PQ无交点的一条线段，则S(ATB)=a*S(ABQ)+(1-a)*S(ABP)

其中S(AQB)表示AQB的面积，以此类推。

证明

记ABPQ的面积为S,则

S(TAB)=S-S(PAT)-S(QBT)

=S-a*S(PAQ)-(1-a)*S(PQB)

=S-a*(S-S(QAB))-(1-a)*(S-S(PAB))

=S-a*S-(1-a)*S+a*S(QAB)+(1-a)*S(PAB)

=a*S(QAB)+(1-a)*S(PAB)

定比分点补充公式

若线段PQ与直线AB交于M,T在线段PM上且PT=a*PQ,则

S(TAB)=(1-a)*S(PAB)-a*S(QAB)

补充公式证明

由共边比例定理知

S(PAB)/PM=S(TAB)/TM=S(QAB)/QM

故

[S(PAB)-S(TAB)]/[S(TAB)+S(QAB)]=PT/TQ

=a/(1-a)

解得S(TAB)=(1-a)*S(PAB)-a*S(QAB)