简介

原理

证明

简介

数学归纳法是一种重要的论证方法。它们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文想从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识。

原理

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

（1）当n＝1时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。

那么，命题对于一切自然数n来说都成立。

证明

用反证法证明。

假设命题不是对一切自然数都成立。命N表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然N非空，于是，由最小数原理N中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。所以m－1是一个自然数。但m是N中的最小数，所以m－1能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题不成立的自然数集N中的最小数矛盾。因此定理获证。

当然，定理2中的（1），也可以换成n等于某一整数k。

对于证明过程的第一个步骤即n＝1（或某个整数a）的情形无需多说，只需要用n＝1（或某个整数a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由n≤k到n＝k＋1的验证过程。事实上，我们不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现，证明等式在n＝k＋1时成立是利用了假设条件；等式在n＝k及n＝k－1时均需成立。同样地，例2也不例外，只是形式的把n＝k及n＝k－1分别代换成了n＝k－1和n＝k－2。然而例3就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在n＝k＋1时的成立问题转化为验证命题在n＝k－2＋1时的成立问题。换言之，使命题在n＝k＋1成立的必要条件是命题在n＝k－2＋1时成立，根据1的取值范围，而命题在n＝k－k＋1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立。这个条件不是别的，正是第二个步骤中的归纳假设。以上分析表明，假如论证命在n＝k＋1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有任何必要这样做。

第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。