定义

性质(基本性质 分析性质)

函数周期

狄利克雷简介

定义

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义为分段函数：

F(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

性质

基本性质

1、定义域为整个实数域 R

2、值域为 {0, 1}

3、函数为偶函数

4、无法画出函数图像

5、以任意正有理数为其周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）

分析性质

1、处处不连续

2、处处不可导

3、在任何区间内黎曼不可积

4、函数是可测函数

5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积，且勒贝格积分值为 0（且任意区间<a,b>（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）

对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。

函数周期

狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意有理数，而非无理数。

狄利克雷简介

狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。

在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。

在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。

在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。