闵可夫斯基定理

首先引入几个概念：

在一个平面直角坐标系xOy中

整点：坐标分量都是整数的点，如(3,5)、(0,0)等等。

闭区域：用一条封闭曲线围起来的部分。

凸区域：如果区域里任何两点的连线完全落在这个区域里，就称为凸的。

定理内容：

坐标平面上任何包含原点的、面积大于4的、凸的、关于原点对称的闭区域一定含有异于原点的整点。

证明：

首先证明一条引理：

一张被分成边长为1的网格纸，若其中有一面积大于n(n为自然数)的封闭区域，则总可以平移(横向纵向滑动而不旋转)，使区域包含至少n+1个点。

证明：布里西费尔特引理(Blichfeldt's Lemma)

假设在一方格网中，横线与纵线相互垂直，且横纵线间距都为1，一面积大于n的封闭区域A在方格中。我们将封闭区域A完全染色，则染色区域面积也大于n。现在我们沿网格将整个方格区域分成若干个1*1的小正方形，并且A区域任意一部分都在这若干个小正方形中。如果我们对任意一个小方格上下左右平移，那么方格内图形不变，恢复到原位置时，网格纸的图形不会改变。将分开的正方形方格块平移并叠放到一起，以保证除最上和最下两个方格块外其他方格上任意一点都有一个点对应。从最下方格的任意一点引一条垂直于方格面向上的射线，依次穿过每一个方格则射线与方格面的交点要么位于染色区域内，要么位于染色区域外，二者必居其一且仅居其一。若任意一条射线与任意一个方格交点在被染色区域内，则证明A区域在该方格内有覆盖，其面积一定大于0。又因为被分开的区域在面积为1的方格内，所以面积最大为1(此时染色区域将方格全覆盖)。假设引出的所有射线与方格交点中没有使“与染色区域交点至少为n+1个”满足，则焦点最多为n个。由单面积最大为1知，被染色区域面积最大为n。但这与条件面积大于n矛盾，所以假设不成立所以至少存在一条射线使与阴影交点至少为n+1个。

用一根无限细的针沿有(n+1)个交点的射线将方块穿透记穿透阴影的点分别为P1, P2 ... Pn+1。取任意点Pk设其与上边缘距离为a，与左边缘距离为b。由重叠知，各正方形完全重合，则P1, P2 ... Pn+1点与上边缘距离为a，与左边缘距离为b。用平移的方式将方格恢复原状，任取两个交点Pi, Pj，设横向间隔N个方格，纵向间隔M个方格。则两点横向间距为N*1 + b+(1-b)=N+1，纵向间距为M*1 + a+(1-a)=M+1。所以，任意两点横纵向间距都为整数。平移区域，使其中一点与网格点重合，由网格点间距整数知，各点与网格点重合。因这n+1个点在染色区域内，所以区域A包含n+1个点，命题得证。

接下来是闵可夫斯基定理的证明：

任取一个关于原点对称且面积大于1的封闭凸图形，由引理知，一定存在两点，使横纵坐标之差为整数。设其中一点坐标为(x0, y0)，另一点为(x0+k, y0+b)(k, b∈Z)，并且(x0, y0)、(x0+k, y0+b)都在图形内。因图形关于原点对称，所以对于任意点(x, y)，若其在图形中，则关于原点的对称点(-x, -y)也在图形中。所以(-x0-k, -y0-b)在图形中。连接点(x0, y0)和点(-x0-k, -y0-b)，取中点((x0+(-x0-k))/2, (y0+(-y0-b))/2)，由图形为凸区域知，中点在图形内。将图形以原点为位似中心，扩大两倍。中点则为(k, b)，新图形面积大于4，且中点是整点，位于图形内。

对于任意一个满足条件的图形，都可以先缩小，找到中点后扩大，这样一定有一异于原点的整点在图形内，命题得证。