重变函数理论

圆角函数理论与重变函数理论

——函数理论的创新

彭瑞良

内容提要：圆角函数理论是三角函数理论的进化。

重变函数理论，是总结建立三角函数理论分析方法、建立起来的一种函数理论，是函数理论的一种补充完善，是一种更高层次的全新的数算理论。

0．1、三角函数是在数算理论发展过程中及自然科学发展过程中产生的，三角函数来源于自然科学也服务于自然科学，在天文学、运动学、电磁学、声学、光学等自然科学中，有着广泛的用途，发挥着重要的计算工具作用，有效促进了其它科学的发展；三角函数在自然科学的应用中，也促进了三角函数自身的发展，使三角函数内容更丰富、更充实。

但三角函数理论是在数算发展历史进程中不断产生形成的，存在局限性、缺乏系统性，有些概念逻辑关系模糊，给初学者增加了学习难度。为了形成系统的、严谨的三角函数理论体系，下面对三角函数理论进行一次全面的分析探讨，并根据该理论的基本内容，提出“圆角函数”替代“三角函数”，使理论名称与内容更贴切，同时对三角函数理论进行系统化、合理化，使三角函数理论更完善、更科学，形成系统的“圆角函数”理论。

1、圆角函数的本原概念

三角函数的回顾。三角函数的本原是：在直角坐标系中，增设一个角度参数，由角度值与坐标值之间形成的函数关系，即为三角函数。因三角函数的基本内容，是以单位圆和三角形等几何图形为基础，利用平面几何知识进行分析、推导、总结而建立的函数，因此将“三角函数”更名为“圆角函数”，此名称更形象、更贴切、更科学。圆角函数的基本概念表述如下：

1.1、角的基本概念

在平面内一条射线，绕端点从一个位置旋转到另一个位置，其射线端点、始边、终边所围形成的图形，即为角，如（图一）。

角的大小，常采用角度制、弧度制进行衡量。

角度制规定：在平面圆中，将一个圆周角分成360等分，其中一等分为1度角。

弧度制规定：在平面圆中，将长度等于半径的弧、所对应的圆心角叫1弧度。

根据圆的圆心角与圆周弧长的对应关系，可确定：

360度角=圆周弧长/半径=2π弧度

弧度制十分科学，使角与圆弧建立了科学的联系，为数算理论的发展、打下了一个坚实的基础，弧度制角与实数可建立一一对应的关系。

角的规定，射线逆时针方向旋转形成的角叫正角，射线顺时针方向旋转形成的角叫负角，射线没有作旋转、始边与终边重合形成的角叫零角。射线可逆时针无限旋转，也就产生无限大的正角；射线可顺时针无限旋转，也就产生无限大的负角。

1．2、圆角函数的形成

为了搞清圆中半径、周长、弘线、切线、割线的相互关系，数学家们进行了长期的探索，经过许多代数学家的研究、总结，提出了一套单位圆理论，使圆的平面几何理论发生了一次飞跃。下面就关于单位圆理论作一全面解释。

如（图二），在平面中，作一个半径长度等于单位长度的圆，原点O点为圆心，OA、OB为半径，AB为弘线，EF为过A点圆的切线，EO为垂直AB弘线的割线，FO为垂直OE的割线；根据直角三角形关系，可以确定：OA=(AC^2+ OC^2 )^(1/2)。

为了理清半径、弘线、切线、割线的关系，根据直角三角形、相似三角形的知识，可将上图的半径、弘线、切线、割线的关系作如下设定：

设定单位圆半径OA等于1。

比值AC/OA叫角θ的正弘，记作sinθ，即

sinθ= AC/OA= AC，其中AC叫角θ的正弘线；

比值OC/OA叫角θ的余弘，记作cosθ，即

cosθ= OC/OA= OC，其中OC叫角θ的余弘线；

比值AE/OA叫角θ的正切，记作tanθ，即

tanθ=AC/OC= AE/OA=AE，其中AE叫角θ的正切线；

比值AF/OA叫角θ的余切，记作cotθ，即

cotθ=OC/AC=AF/OA= AF，其中AF叫角θ的余切线；

比值OE/OA叫角θ的正割，记作secθ，即

secθ=OA/OC=OE/OA= OE，其中OE叫角θ的正割线；

比值OF/OA叫角θ的余割，记作cscθ，即

cscθ=OA/AC=OF/OA= OF， 其中OF叫角θ的余割线；

以上比值，统称为“圆角函数”本原关系，在0<θ<π/2内，平面圆中的半径、弘线、切线、割线之间，有了严谨的逻辑关系，各线之间可相互求解，大大促进了圆的数算理论的发展；此“圆角函数”本原关系，在历史上曾制作了“正弘、余弦函数表，正切、余切函数表”，在自然科学中发挥过重大作用。

2、圆角函数的基本公式

上面的“圆角函数”的基本概念，是以单位圆和三角形等几何图形为基础，利用平面几何知识进行分析总结确立的，从纯数学方面看，有效理清了平面圆中的半径、弘线、切线、割线的逻辑关系。

但从自然科学的应用看，只有正弘、余弘、正切三个函数应用较广，其它三角函数用途不多，且可从正弘、余弘、正切变换而得；为了使“圆角函数”得到优化，为此只将正弘函数、余弘函数、正切函数三个函数，确定为“圆角函数”的基本函数，以优化“圆角函数”的内容。

以上“圆角函数”表达式，是依据平面几何知识进行推导产生的，为扩展“圆角函数”的适应范围，下面建立直角坐标系单位圆概念，并推导产生了“圆角函数”的诱导公式、同角公式、和角公式、差角公式、倍角公式等“圆角函数”基本运算公式。

2．1、建立直角坐标系单位圆

如（图三），在一个平面直角坐标系中，以原点O点为圆心，以单位长度为半径作圆，即为平面直角坐标系单位圆；设单位圆上有一点P的坐标为(x，y)，连接点P与原点O形成线段OP，线段OP与直角坐标系X轴的非负轴所形成的角、设定为参数θ，设圆的半径P点与O点的距离为r，在此基础上可确定如下“圆角函数”关系：

设：sinθ=y/r，

设：cosθ=x/r，

设：tanθ=y/x，

其中r=︱OP︱=( x^2+ y^2 )^(1/2)>0；

为了简化计算，可设定r=1，并可作半径为“1”的单位圆图形，如（图三）， 也叫“圆角函数” 单位圆。

2．2、圆角函数的诱导公式

在直角坐标系的单位圆，“圆角函数”的角可以推广到整个实数，从角度值与坐标值的关系，可以确定如下诱导公式：

（1）、sin（2kπ+θ）= sinθ=y/r；

（2）、cos（2kπ+θ）= cosθ=x/r；

（3）、tan（2kπ+θ）= tanθ=y/x；

其中k∈Z，以上表示：任何一个整数倍周角加一个角的角，终边相同的角的圆角函数值相等。

（4）、sin（2π-θ）= -sinθ=y/r；

（5）、cos（2π-θ）= cosθ=x/r；

（6）、tan（2π-θ）= -tanθ=y/x；

以上表示：一个周角减一个角的角的圆角函数值，与减角的圆角函数值的关系。

（7）、sin（-θ）= -sinθ=y/r；

（8）、cos（-θ）= cosθ=x/r；

（9）、tan（-θ）= -tanθ=y/x；

以上表示：一个负角的圆角函数值，与它的正角的圆角函数值的关系。

（10）、sin（π-θ）= sinθ=y/r；

（11）、cos（π-θ）= -cosθ=x/r；

（12）、tan（π-θ）= -tanθ=y/x；

以上表示：一个平角减一个角的角的圆角函数值，与减角的圆角函数值的关系。

（10）、sin（π+θ）= -sinθ=y/r；

（11）、cos（π+θ）= -cosθ=x/r；

（12）、tan（π+θ）= tanθ=y/x；

以上表示：一个平角加一个角的角的圆角函数值，与加角的圆角函数值的关系。

2．3、圆角函数的相互关系式

按照“圆角函数”的函数定义和直角三形知识，sinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/x函数之间，可建立下列同角、余角圆角函数的基本关系式：

（13）、sinθ^2+ cosθ^2=1

（14）、tanθ= sinθ/cosθ

（15）、sin（π/2-θ）= cosθ

（16）、cos（π/2-θ）= sinθ

2．4、圆角函数的和角公式

如（图四），利用平面直角坐标系单位圆上的点的距离关系︱AC︱=︱BD︱、几何知识，可推导得到下列和角公式：

（17）、sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

（18）、cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

（19）、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

2．5、圆角函数的差角公式

用（-β）代替β代入和角公式推导，可得到下列公式：

（20）、sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

（21）、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

（22）、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

2．6、圆角函数的倍角公式

用α代替β代入和角公式推导，可得到下列公式：

（23）、sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

（24）、cos(2α)=（cosα）^2 -（sinα）^2

=2（cosα）^2 -1

=1-2（sinα）^2

（25）、tan(2α)=2tanα/[1-（tanα）^2]

以上公式是“圆角函数”的基本运算公式。

3、圆角函数的重变关系

“圆角函数”的基本概念，是以单位圆和三角形等几何图形为基础建立的，从纯数学方面看，有效理清了平面圆中的半径、弘线、切线、割线的逻辑关系，此圆、角、线关系的建立也大大推动了数算理论的发展。

但从“圆角函数”的自然科学的应用看，“圆角函数”的实际应用价值，不仅是圆的半径、弘线、切线的比值关系，更重要的是圆心角与比值形成的对应关系的变化规律，此规律有着广泛的实用价值。

为了确立“圆角函数” 圆心角与比值的对应关系的变化规律，下面利用平面直角坐标系单位圆的概念，对“圆角函数”进行一次全面分析，形成更广泛、更实用的“圆角函数”理论。

上面己建立了平面直角坐标系单位圆，如（图六），也确立了如下关系：

（1）、sinθ=y/r，

（2）、cosθ=x/r，

（3）、tanθ=y/x，

（4）、r=( x^2+ y^2 )^(1/2)>0；

为了简化计算，可设定r=1，并可作半径为“1”的单位圆图形，如（图六）。

以上单位圆图形及对应比值关系，只是“圆角函数”的本原关系，只确定了圆心角θ与坐标值X与Y的对应关系而己，此单位圆图形坐标系叫“圆角函数”本原关系坐标系。

为了得到更有价值的“圆角函数”关系，需在“圆角函数”本原关系的基础上，确立新的“圆角函数”对应关系，其具体内容是：建立新的直角坐标系，以“圆角函数”本原关系中圆心角θ为自变量对应新的横坐标值，以“圆角函数”本原关系中圆上动点P在本原坐标系的Y（或X）轴的数值的比值为因变量对应新的纵坐标值，以上对应关系形成的函数，其函数表达式如下：

Y= sinθ=y/r, （θ∈R）；

X= cosθ=x/r, （θ∈R）；

Z= tanθ=y/x, （θ∈R）；

将以上表达式叫 “圆角函数”的重变关系。

为了弄清“圆角函数”的重变关系的变化规律，下面依据“圆角函数”本原关系，分别分析“圆角函数”的重变关系特性。

3．1、Y= sinθ=y/r，（θ∈R）的重变特性

先作Y= sinθ=y/r的本原关系图，如（图七）；再建立一直角坐标系，顺着本原关系坐标系的X轴的正方向，建立以角度θ变量为自变量、比值Y为因变量的复变关系坐标系，其中θ为横坐标轴、Y纵坐标轴，O`为原点，θ轴的数值对应于本原关系图的弧度制角θ值，Y轴的数值对应于本原关系图中的Y值，依据此对应关系，得到如下Y= sinθ=y/r，（θ∈R）的重变函数图，如（图八）。

从（图八）可以看出：Y= sinθ=y/r，（θ∈R）的重变函数图，是一个绕θ轴上下起伏变化的波动图，最大波动值为单位圆的半径值，整个函数图是一个不断重复的波动图，呈现周期性，波动图的最小周期为2π。

3．2、X= cosθ=x/r, （θ∈R）的重变特性

先作X= cosθ=x/r的本原关系图，如（图九），Y轴的正方向向左、X轴的正方向向上；再建立一个平面直角坐标系，顺着本原关系坐标系的Y轴的负方向的延长线上，建立以角度θ变量为自变量、比值X为因变量的复变关系坐标系，其中θ为横坐标、正方向右，X为纵坐标、正方向上，O`为原点，θ轴的数值对应于本原关系图的弧度制角θ值，X轴的数值对应于本原关系图中的X值，依据此对应关系，得到如下X= cosθ=x/r, （θ∈R）的重变函数图，如（图十）。

从（图十）可以看出：X= cosθ=x/r，（θ∈R）的重变函数图，是一个绕θ轴上下起伏变化的波动图，最大波动值为单位圆的半径值，整个函数图是一个不断重复的波动图，呈现周期性，波动图的最小周期为2π。

3．3、Z= tanθ=y/x, （θ∈R）的重变特性

先作Z= tanθ=y/x的本原关系图，如（图十一），并作MN垂直X轴且与圆相切交于N点，延长OP交MN于M点，根据三角形相似原理，则有Z= tanθ=y/x=MN/ON=MN；再建立一直角坐标系，顺着本原关系坐标系的X轴的正方向的延长线上，建立以角度θ变量为自变量、比值Z为因变量的复变关系坐标系，其中θ为横坐标轴、正方向向右，Z为纵坐标轴、正方向上，O`为原点，θ轴的数值对应于本原关系图的角度θ值，Z轴的数值对应于本原关系图中的y/x值（M点的纵坐标值），依据此对应关系，可得到如下Z= tanθ=y/x, （θ∈R）的重变函数图，如（图十二）；从Z= tanθ=y/x的本原关系可得，Z=tanθ函数图象是由被相互平行的直线X=π/2+kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成。

从（图十二）可以看出：Z= tanθ=y/x，（θ∈R）的重变函数图，是一个绕θ轴上下起伏变化的波动图，tanθ可无限增大tanθ→+∞，tanθ也可无限减小tanθ→-∞，整个函数图是一个不断重复的波动图，呈现周期性，波动图的最小周期为π。

以上三个函数，统称为 “圆角函数”的基本重变函数。

4、重变函数理论的建立

总结以上“圆角函数”重变函数的分析方法，我们可以建设一套完整的重变函数理论。

参照上述“圆角函数”分析方法，我们可以建立无数重变函数。下面以一个正方形、三角形为基本图形，建立本原关系坐标系，再建立对应的重变函数关系。

4．1、正方形的重变函数

先建立平面直角坐标系YOX，在YOX坐标系中过（1，1）、（-1，1）、（-1、-1）、（1，-1）四点的作正方形，正方形的轨迹方程如下：

设在正方形线上有一动点P（x,y），连接动点P原点O，PO线段与非负X轴形成角θ，此时角度值θ与坐标值x或y所确定的关系，叫正方形与角度的本原函数关系，可表示为：

Y= f（y, θ），（θ∈R）,

其中有tanθ=y/x;

以上图形坐标系叫本原函数坐标系（图十三）。

再建立一直角坐标系YO`θ，顺着本原关系坐标系的X轴的正方向，建立以角度θ变量为自变量、坐标值y为因变量的复变关系坐标系，其中θ为横坐标轴、Y纵坐标轴，O`为原点，θ轴的数值对应于本原关系图的P点的角度θ值，Y轴的数值对应于本原关系图中的P点的坐标y值，依据此对应关系，得到如下重变函数:

作重变函数图，如（图十四）。

从（图十四）可以看出：此正方形的重变函数图，是一个绕θ轴上下起伏变化的梯形波动图，最大波动值为本原图形最大值，整个函数图是一个不断重复的波动图，呈现周期性，波动图的最小周期为2π。

4．2、三角形的重变函数

先建立平面直角坐标系YOX，在YOX坐标系中过（1，-1）、（0，1）、（-1、-1）三点作三角形，三角形的轨迹方程如下：

设在三角形线上有一动点P（x,y），连接动点P原点O，PO线段与非负X轴形成角θ，此时角度值θ与坐标值x或Y所确定的关系，叫三角形与角度的本原函数关系,可表示为：

Y= f（y, θ），（θ∈R）

其中有tanθ=y/x；

以上图形坐标系叫本原函数坐标系（图十五）。

再建立一直角坐标系YO`θ，顺着本原关系坐标系的X轴的正方向，建立以角度θ变量为自变量、坐标值y为因变量的重变关系坐标系，其中θ为横坐标轴、Y纵坐标轴，O`为原点，θ轴的数值对应于本原关系图的角度θ值，Y轴的数值对应于本原关系图中的坐标y值，依据此对应关系，得到如下重变函数:

作重变函数图，如（图十六）。

从（图十六）可以看出：此三角形的重变函数图，是一个绕θ轴上下起伏变化的异形波动图，最大波动值为本原图形最大值，整个函数图是一个不断重复的波动图，呈现周期性，波动图的最小周期为2π。

4．3、重变函数的基本内容

重变函数的基本内容是：

首先，建立本原关系坐标系，在直角坐标系中建立本原几何图形，建立几何图形轨迹方程；

第二，建立以本原坐标系原点为极点、本原坐标系非负坐标轴为极轴的极坐标系；

第三，建立重变函数，根据本原几何图形上的点坐标值，确立该点在直角坐标系与极坐标的相互函数关系式；

第四，作重变函数图，建立新的重变函数坐标系，依据重变函数关系作重变函数图；

第五，分析重变函数特性，依据本原几何图形、相应重变函数、相应重变函数图，分析对应的重变函数特性。

以上重变函数的基本内容，也叫重变函数理论，是总结建立三角函数理论的分析方法上建立起来的，是函数理论的一种补充，是一种更高层次的全新的理论。

“重变函数”名称是依据本函数的特点确立，其函数的独特特点如下：

第一个特点是：依据“重变函数”要求建立的一切函数，都是一个重复变化的周期性函数；

第二个特点是：“重变函数”的建立，需要从一个坐标系确定的关系转化为另一个坐标系的函数；

第三个特点是：“重变函数”的建立，是同时使用直角坐标系和极坐标系的轨迹上的坐标建立；

根据以上特点，确立此类函数为“重变函数”，十分贴切。

2011年11月8日定稿