定义及一般特性

例子与反例

单射函数为可逆函数

其他性质

定义及一般特性

设f是由集合A到集合B的映射，如果x,y∈A,且x≠y等价于f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。

在数学里，单射函数为一函数，其将不同的引数连接至不同的值上。更精确地说，函数f被称为是单射的，当对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y。

另一种说法为，f为单射，当若f(a) = f(b)，则a = b(或若a≠b，则f(a)≠f(b))，其中a、b属于定义域。

例子与反例

对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。

函数f : R → R，其定义为f(x) = 2x + 1，是单射的。

函数g : R → R，其定义为g(x) = x2，不是单射的，因为g(1) = 1 = g(−1)。但若将g的定义域限在非负数[0,+∞)内或非正数(-∞,0]内，则g是单射的。

指数函数exp：R → R+：x → ex（e的x次方）是单射的。

自然对数函数ln：(0，+∞) → R：x → ln x是单射的。

函数g : R → R，其定义为g(x) = x3 − x，不是单射的，因为 g(0) = g(1)。

更一般地说，当X和Y都是实数线 R'，则单射函数f : R → R为一绝不会与任一水平线相交超过一点的图。

单射函数为可逆函数

另一单射函数的定义为其作用可取消的函数。更精确地说，f : X → Y为单射，若存在一函数g : Y → X，使得对所有X内的x，g(f(x)) = x，亦即g o f 等同于X上的恒等函数。

注意，g不一定是一f的完全反函数，因为其他顺序的复合f o g不一定是在X上的恒等函数。

事实上，将一单射函数f : X → Y变成一双射函数，只需要将其陪域Y替换成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其对所以X内的x，g(x) = f(x)；如此g便为单射的了。确实，f可以分解成inclJ,Yog，其中inclJ,Y来由J至Y的内含映射。

其他性质

若f和g皆为单射的，则f o g亦为单射的。

若g o f为单射的，则f为单射的(但g不必然要是)。

f : X → Y是单射的若且唯若当给定两函数g、h : W → X会使得f o g = f o h时，则g = h。

若f : X → Y为单射的且A为X的子集，则f −1(f(A)) = A。所以，A可以从其值域f(A)找回。

若f : X → Y是单射的且A和B皆为X的子集，则f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。

任一函数 h : W → Y 皆可分解为 h = f o g 其中 f 是单射而 g 是满射。此分解至多差一个自然同构， f 可以设想为从 h(W) 到 Y 的内含映射。

若 f : X → Y 是单射，则在基数的意义下 Y 的元素数量不少于 X。

若 X 与 Y 皆为有限集，则 f : X → Y 是单射若且唯若它是满射。

内含映射总是单射。