单峰映象

是种多项式映射，显示了简单非线性动力方程能带来混沌的结果。这种映射因生物学家Robert May在1976年发表的一篇论文而著名。单峰映象原本被Pierre François Verhulst用作一个人口学模型，后来应用在物种受到限制因素之下的数目。这是根据两个平常现象：

繁殖增加的人口跟物种的原本的总数目（大约）正比；

饿死的数目，跟环境资源的“最大容量”减去物种中成员死亡的数目成正比。

数学上可写成xn + 1 = rxn(1 − xn)，其中xn是介于0和1之间的数，表示在第n年的物种数目。r是正整数，是根据繁殖和饿死率而得出的数。

r的值对结果的影响

不论x_0（开始数目）的大小，r的值：

0和1之间：xn会越来越少，趋近0；

1和2之间：经过几次迭代，xn便为(r − 1) / r，稳定地发展；

2和3之间：经过几次迭代，xn也会越来越接近(r − 1) / r，但最初会在这个值左右振动，而这个趋近率是线性的；

3：xn仍然会越来越接近(r − 1) / r，但趋近率不是线性的；

3和1+√6（约3.45）之间：xn会在4个值之间周期出现，即它可能循环地为a,b,c,d,a,b,c,d...一直下去。

约大于1+√6：xn会在8个、16个、32个值……之间出现，至于r何时会令x_n的值由8个到16个，则和费根鲍姆常数δ = 4.669...有关。

约为3.57：这样的振动消失，整个系统在混乱的状态之中。不过，当中有些值还是有周期性的情形出现。例如当r约大于3.82，会出现3个值的周期、6个的、12个的……亦有5个值、7个值的周期等，总之所有周期都可以出现。

大于4：系统将逐渐抛离区间[0,1]，并发散。

这些情况可用分枝图表示：

分枝图是一个碎形。