定义

不变量

地理学问题

性质

例子

定义

代数曲面是代数几何中考虑的另一类重要的几何对象。它是紧的4维定向实流形，也就是紧复2维流形。 它是比代数曲线更为复杂的研究对象。

不变量

代数曲面X自带了一些重要的数值不变量。 这些量主要包括：典范体积 K_X^2(也就是典范除子的自相交数)，上同调的欧拉示性数 χ(O_X)，拓扑的欧拉示性数χ_{top}(X)。 不变量是反映曲面自身特征的数值量。

这三个不变量满足一个简单的线性关系式，即著名的诺特公式。

曲面上的陈类有c_1(X)与c_2(X).

地理学问题

是否存在这样的代数曲面，使得它的不变量恰好有指定的值呢？这就是代数曲面理论所要研究的课题－－称为曲面地理学。

其次我们要将所有的曲面按照各类不变量进行分类，就好比按照生物的不同性状分成各个种类。 因此人们把这一工作形象地称为曲面的生物学分类。

性质

代数曲面上的代数曲线也是重要的研究对象。 著名的黎曼洛赫定理（Riemann－Roch定理）就是揭示曲线和曲面关系的一个深刻结果。

Enriques 按照小平邦彦的小平维数，给出了曲面的一个粗糙的分类定理。 其中一般型极小曲面是最难研究的曲面类型。

例子

1. 最简单的代数曲面是射影平面。

2. 与射影平面双有理等价的曲面是所谓的有理直纹面。 它们也称作Hirzebruch曲面。它们的小平维数等于-∞.

3. 一般型曲面 是代数曲面中最复杂的曲面， 至今还没有完全被研究清楚。

4. 除此之外， 还有Abel曲面， Enriques曲面，椭圆曲面， K3曲面等等。