1 数学定理

2 本杰明、杰哈德著图书

（代数学基本定理）任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。 据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。

定理证明的历史

在复变函数论中的证明方法

（代数学基本定理）任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)

由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.

◎ 定理证明的历史

代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。 据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。 迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家 J.P. 塞尔 曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。 他在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。 复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。

代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)，基本思想如下：

设f(z)为n次实系数多项式，记z=x+yi(x、y∈R)，考虑方根：?

f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0?

即u(x、y)=0与v(x、y)=0?

这里u(x、y)=0 与v(x、y)=0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点z0=a+bi，从而得出u(a、b)=v(a、b)=0，即f(a+bi)=0，因此z0便是方程f(z)=0的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。

高斯后来又给出了另外三个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数。

◎ 在复变函数论中的证明方法

在复变函数论中， 有相当优美的传统证明方法。

设f(z)是n次多项式。 如果f(z)=0没有根， 那么g(z)=1/f(z)是复平面上全纯函数。由于f(z)是多项式，所以可证g(z)是有界的。 由刘维尔定理，一个复平面上的全纯有界函数必为常数。 从而g是常值函数，亦即f是常值函数， 矛盾！故得证代数基本定理。

此定理也可以用关于留数公式的儒歇定理来证。 但本质上都是拓扑的。

内容简介

目录

作　者： （美）本杰明，（美）杰哈德　著

出 版 社： 清华大学出版社

出版时间： 2009-11-1

开　本： 16开

I S B N ： 9787302214793

定价：￥34.00

◎ 内容简介

本书对数学中最重要的定理——代数基本定理给出了六种证明，方法涉及到分析、代数与拓扑等数学分支。全书以一个问题为主线，纵横数学的几乎所有领域，结构严谨、文笔流畅、浅显易懂，适合高年级大学生、研究生自学和讨论，特别适合于用作短学期教材或数学选修类课程教材。

◎ 目录

Preface

1 Introduction and Historical Remarks Complex Numbers

2.1 Fields and the Real Field

2.2 The Complex Number Field

2.3 Geometrical Representation of Complex Numbers

2.4 Polar Form and Euler's Identity

2.5 DeMoivre's Theorem for Powers and Roots Exercises

3 Polynomials and Complex Polynomials

3.1 The King of Polynomials over a Field

3.2 Divisibility and Unique Factorization of Polynomials

3.3 Roots of Polynomials and Factorization

3.4 Real and Complex Polynomials

3.5 The Fundamental Theorem of Algebra: Proof One

3.6 Some Consequences of the Fundamental Theorem Exercises

4 Complex Analysis and Analytic Functions

4.1 Complex Functions and Analyticity

5 Complex Integration and Cauchy's Theorem

6 Fields and Field Extensions

7 Galois Theory

8 Topology and Topological Spaces

Algebraic Topology and the Final Proof

Appendix A: A Version of Gauss's Original Proof

Appendix B: Cauchy's Theorem Revisited

Appendix C: Three Additional Complex Analytic Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra

Appendix D: Two More Topological Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra

Bibliography and References

Index