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词条 代数闭域
释义

定义:域F称为代数闭域,如果对于任何系数属于F的一元多项式f(x),f(x)在F中至少有一个根。

等价定义:域F称为代数闭域,如果对于任何系数属于F的一元多项式f(x),f(x)的所有跟皆在F中。

举例说明,实数域R并非代数闭域,因为实系数多项式x^2+ 1 = 0无实根:

同理可证有理数域Q非代数闭域。此外,有限域也不是代数闭域,因为若列出F的所有元素,则多项式(x-a1)(x-a2)(x-a3)……(x-an)+1在F中没有根:

而复数域C则是代数闭域;这是代数基本定理的内容。另一个代数闭域之例子是代数数域A。(代数数域是所有Q上的代数数全体所构成的域)

等价的刻划

给定一个域F,其代数封闭性与下列每一个性质等价:

不可约多项式当且仅当一次多项式

F是代数闭域,当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域,p(x)是F[x]的一个不可约多项式,那么它有某个根a,因此p(x)是xa的一个倍数。由于p(x)是不可约的,这意味着对于某个kF \\ {0},有p(x) = k(xa)。另一方面,如果F不是代数闭域,那么存在F[x]内的某个非常数多项式p(x)在F内没有根。设q(x)为p(x)的某个不可约因子。由于p(x)在F内没有根,因此q(x)在F内也没有根。所以,q(x)的次数大于一,因为每一个一次多项式在F内都有一个根。

每一个多项式都是一次多项式的乘积

F是代数闭域,当且仅当每一个系数位于次数F内的n ≥ 1的多项式p(x)都可以分解成线性因子。也就是说,存在域F的元素kx1x2, ……, xn,使得p(x) = k(xx1)(xx2) ··· (xxn)。

如果F具有这个性质,那么显然F[x]内的每一个非常数多项式在F内都有根;也就是说,F是代数闭域。另一方面,如果F是代数闭域,那么根据前一个性质,以及对于任何域K,任何K[x]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积,推出这个性质对F成立。

Fn的每一个自同态都有特征向量

F是代数闭域,当且仅当对于每一个自然数n,任何从F到它本身的线性映射都有某个特征向量。

F^n的自同态具有特征向量,当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此,如果F是代数闭域,每一个F^n的自同态都有特征向量。另一方面,如果每一个F^n的自同态都有特征向量,设p(x)为F[x]的一个元素。除以它的首项系数,我们便得到了另外一个多项式q(x),它有根当且仅当p(x)有根。但如果q(x) = x^n+ an-1x^n-1+ ··· + a0,那么q(x)是以下友矩阵的特征多项式:

0 0 0……0 -a01 0 0……0 -a10 1 0……0 -a2

有理表达式的分解

F是代数闭域,当且仅当每一个系数位于F内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为a/(xb)^n的有理函数之和,其中n是自然数,abF的元素。

如果F是代数闭域,那么由于F[x]内的不可约多项式都是一次的,根据部分分式分解的定理,以上的性质成立。

而另一方面,假设以上的性质对于域F成立。设p(x)为F[x]内的一个不可约元素。那么有理函数1/p可以写成多项式函数q与若干个形为a/(xb)^n的有理函数之和。因此,有理表达式

可以写成两个多项式的商,其中分母是一次多项式的乘积。由于p(x)是不可约的,它一定能整除这个乘积,因此它也一定是一个一次多项式。

代数闭包

设为代数扩张,且E是代数闭域,则称EF的一个代数闭包。可以视之为包含F的最小的代数闭域。

若我们承认佐恩引理(或其任一等价陈述),则任何域都有代数闭包。设E,E'为任两个F的代数闭包,则存在环同构使得σ | F = idF;代数闭包在此意义上是唯一的,通常记作 F 或。

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更新时间:2025/3/19 16:50:51