等价的刻划(不可约多项式当且仅当一次多项式 每一个多项式都是一次多项式的乘积 Fn的每一个自同态都有特征向量 有理表达式的分解)

代数闭包

定义：域F称为代数闭域，如果对于任何系数属于F的一元多项式f(x)，f(x)在F中至少有一个根。

等价定义：域F称为代数闭域，如果对于任何系数属于F的一元多项式f(x)，f(x)的所有跟皆在F中。

举例说明，实数域R并非代数闭域，因为实系数多项式x^2+ 1 = 0无实根：

同理可证有理数域Q非代数闭域。此外，有限域也不是代数闭域，因为若列出F的所有元素，则多项式(x-a1)(x-a2)(x-a3)……(x-an)+1在F中没有根：

而复数域C则是代数闭域；这是代数基本定理的内容。另一个代数闭域之例子是代数数域A。（代数数域是所有Q上的代数数全体所构成的域）

等价的刻划

给定一个域F，其代数封闭性与下列每一个性质等价：

不可约多项式当且仅当一次多项式

域F是代数闭域，当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域，p(x)是F[x]的一个不可约多项式，那么它有某个根a，因此p(x)是x − a的一个倍数。由于p(x)是不可约的，这意味着对于某个k ∈ F \\ {0}，有p(x) = k(x − a)。另一方面，如果F不是代数闭域，那么存在F[x]内的某个非常数多项式p(x)在F内没有根。设q(x)为p(x)的某个不可约因子。由于p(x)在F内没有根，因此q(x)在F内也没有根。所以，q(x)的次数大于一，因为每一个一次多项式在F内都有一个根。

每一个多项式都是一次多项式的乘积

域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数F内的n ≥ 1的多项式p(x)都可以分解成线性因子。也就是说，存在域F的元素k， x1， x2， ……， xn，使得p(x) = k(x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)。

如果F具有这个性质，那么显然F[x]内的每一个非常数多项式在F内都有根；也就是说，F是代数闭域。另一方面，如果F是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域K，任何K[x]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对F成立。

Fn的每一个自同态都有特征向量

域F是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数n，任何从F到它本身的线性映射都有某个特征向量。

F^n的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果F是代数闭域，每一个F^n的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个F^n的自同态都有特征向量，设p(x)为F[x]的一个元素。除以它的首项系数,我们便得到了另外一个多项式q(x)，它有根当且仅当p(x)有根。但如果q(x) = x^n+ an-1x^n-1+ ··· + a0，那么q(x)是以下友矩阵的特征多项式：

0 0 0……0 -a01 0 0……0 -a10 1 0……0 -a2

有理表达式的分解

域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于F内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为a/(x − b)^n的有理函数之和，其中n是自然数，a和b是F的元素。

如果F是代数闭域，那么由于F[x]内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域F成立。设p(x)为F[x]内的一个不可约元素。那么有理函数1/p可以写成多项式函数q与若干个形为a/(x − b)^n的有理函数之和。因此，有理表达式

可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于p(x)是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

代数闭包

设为代数扩张，且E是代数闭域，则称E是F的一个代数闭包。可以视之为包含F的最小的代数闭域。

若我们承认佐恩引理（或其任一等价陈述），则任何域都有代数闭包。设E,E'为任两个F的代数闭包，则存在环同构使得σ | F = idF；代数闭包在此意义上是唯一的，通常记作 F 或。