0 引言

1 一元线性类单元层基本算法

2 箱变坐标系与二元线性类单元层基本算法(2.1 箱变坐标系简介 2.2 二元线性类单元层基本算法)

3 二元非线性类和三元类算法提示

4 合并类基本算法

5. 结语

0 引言

CS储量积分法（或称储量积分法，简称CS法）是以合理的圈矿模型为基础，通过精确的数学表达和以积分为主的有关精确运算，从而实现对圈矿模型的“精确快捷定位”计算，最终求得较为可靠的矿产资源储量的数学方法。该法是CS变值方法在矿产储量估算方面的具体应用，下面简要介绍其有关算法。

一般来说，储量结果的可靠程度即储量精度(C)应同时取决于各类地质成果的可靠程度即地质精度(D)和储量计算方法的算法精度(S)及其用法上的合理程度即用法精度(Y)，亦即C=DSY。由此可知，只有D、S、Y同时具有较高精度，才能确保获得较高的储量精度。其中，较高的地质精度来自较高的控制和研究程度；而较高的算法精度和用法精度则需要算法精确、用法简便，这正是储量计算方法的基本目标，也正是CS法的基本特点。其中，地质精度对应于矿体圈定和块段划分的数学模型精度。

CS法的基本思路是将储量计算范围内的空间实体(矿床或矿体)适当分解为有限个单元层(其形态常为层状体)，只要求出单元层的储量，则其总体储量便可求和而得。因此,可最终归结为对单元层的算法研究。一般来说，储量计算块段总可通过适当处理(如进行适当分解、分段或降维变换等)使之成为或比较接近各种泛柱体或正箱体（此即单元层）。这里的降维变换是指用降低维数后的对应等值进行变换以确保变换前后的原维等值。

泛柱体是指两底平行、侧棱或侧线均为连续型直线或光滑曲线的空间体。泛柱体可对应于由平行剖面或断面(如平行断面法)所划分的储量块段。其底面可为任意形状，各侧面可为平面、曲面或扭面。这里的扭面可由不在同一平面上的两条导线和一条母线所决定，当导线和母线均为直线时则为线性扭面，否则，既可为非线性扭面也可为线性扭面(见正箱体)。当泛柱体的侧棱或侧线均为直线时叫简柱体(如右图1，可有五种主要类型)，否则叫杂柱体。简柱体的底面亦可为任意形状，但各侧面只能是平面、直线型曲面或线性扭面。

正箱体是指有四个侧面同垂(或正交)于某一平面的凸棱六面体(如右图2，J为基面)。正箱体以外的凸棱六面体叫斜箱体，二者统称为似箱体。正箱体对应于由平行工程(如各种投影法)所划分的储量块段。斜箱体可对应于由不平行工程所划分的储量块段，CS法常将其适当分解后变为正箱体。正箱体可有八种基本类型(如右图3，均为标准正箱体)，当其在基面上的投影为矩形时叫方箱体，为梯形(特殊情况为三角形)时叫近箱体，为任意四边形时叫次箱体。当正箱体的三个共点侧面为互垂平面时叫标准正箱体(常用于建立箱变坐标系)；否则，为一般正箱体(降维变换后可成标准型)。正箱体的长、宽、高分别称为长距、宽距和高距(三者方向互垂)，其中，高距可与与单元层的正厚度和线品位相对应。这里的正厚度和线品位对应于平行工程(正工程)中的样品或矿体厚度和品位。正箱体中的各类近箱体也属于泛柱体，其中的线性直近箱体则属于简柱体。

上述泛柱体和正箱体的数学特征充分体现了各种单元层和矿体的局部特征，CS法便是以此为基础所进行的各类数学运算。其中，泛柱体常用于单元层的一元算法，正箱体常用于单元层的二元和三元算法(也可用于一元)。CS法的算法分类可归纳如下（如右图）：

在上述分类中，线性特指正厚度和线品位均为线性变化，否则叫非线性。单元面和单元层与矿体断面和块段相对应，其中，单元面可由正工程控制，单元层既可由正工程控制(如正箱体)也可由正断面控制(如泛柱体)。单元面和单元层的划分原则应是：同一单元面和单元层的各地质变量(如正厚度、线品位等)应具有同一变化规律，以便表示为同一连续型初等函数，故其一般不宜跨层，而且常由完整单样或单样的某一部分所控制(即按单样对应或厚度等比对应，此时叫基本单元面和单元层或单样面和单样层)，有时也可由复样控制(叫扩元面和扩元层或复样面或复样层)。在上述算法分类中，基本算法为基础和主体，主要对象为单个单元面和单元层；分解与合并算法主要用于将一个变为多个(前者)或多个变为一个(后者)，分解用于求精、合并用于简化，其中的各种变值运算更是对该法的升华与扩展，使之应用更加广泛、灵活，如斜箱体块段或开采台段通常是先分解后合并。

在CS法的各类算法中，一元和二元线性类算法较为简便和常用，合并类算法亦较常用。其中，单元面算法均较简单，这里从略。下面重点介绍一元和二元线性类单元层及一元合并类基本算法，余者只作简单提示。

1 一元线性类单元层基本算法

本类算法的数学依据是简柱体新型快捷算法(即简柱体任意内插横断面积和体积的计算通式为一简单的二次三项式及其定积分形式。见参考文献)。（接右图）

利用（1-4）、（1-5.1）、（1-5.2）和（1-6）各式便可直接求得任意内插区间[a，b]的内插块段值，其中,体品位的求法属于等维加权平均,相当于化学中的溶液浓度=溶质/溶液。当a=0，b=L时，可得完整单元层或完整块段的计算结果。

此外，利用以上六种基本算式可适当设定函数值及内插区间a或b后反求内插位置或区间的b或a。

以上六种基本算式适用于正厚度和线品位均为线性变化时的简柱体单元层，当正厚度和线品位不全为线性变化或为杂柱体时，属一元非线性类算法，仍有上述六类基本算式。其中，正面积或面品位算式常为方次较高的整幂多项式，其它算式可仿照上述方法求之。

2 箱变坐标系与二元线性类单元层基本算法

单元层的二元和三元类基本算法均来自箱变坐标系。

2.1 箱变坐标系简介

这里先从简单的线性扭面谈起。如图5所示(图中的实线为一标准的线性直次箱体，也可为其它类型的标准正箱体)，该正箱体的顶面为一线性扭面，与顶面对应的高距方程为一扭面方程。当正箱体为方箱体时，其纵、横坐标单位数各自处处对应相等，则该扭面方程不难求得；但若不为方箱体时，则其求法目前尚属空白。这是因为其中的纵、横坐标单位数不能各自处处对应相等，故采用常规函数无法直接对其进行精确表达。然而，若通过适当变换使原有密度均匀的非方箱体变为密度不匀的方箱体，或适当改变坐标单位使其纵、横坐标单位数与方箱体一样各自处处对应相等，便可按照方箱体的求法(采用坐标单位数)求出其对应的扭面方程。实现这种变换及其有关求法和算法得益于箱变坐标系、变值函数和变值运算等这一新型数学思路与方法(可叫变值方法)。现将其部分要点作一简要说明。 箱变坐标系来自常规直角坐标系，但其同名坐标单位却是处处可变，其坐标网是以某一标准正箱体为基准或原型(叫基箱体)，按照等比对应或变值对应进行网状分割而成(图5中的虚线)。分割后的平面图形常为直边或曲边的梯形网(如箱面坐标系)，空间图形常为相应的正箱网(如箱体坐标系，其中与基箱体对应的有限部分叫基准网)。当基箱体的三个基侧面与三个坐标平面重合时，该箱变坐标系叫最简坐标系或标准坐标系。此时，基箱体在三个坐标轴上的长距、宽距和高距分别称为基长、基宽和基高，可统称基距。CS法常采用最简坐标系，以便简化有关算法。

在箱变坐标系中，处处可变的坐标单位叫变值单位，其对应坐标值叫变值坐标，相应坐标系属变值坐标系；而常规坐标系中处处相等的坐标单位叫等值单位，其对应坐标值和坐标系可叫等值坐标和等值坐标系。变值单位与某一基准单位(叫基值单位，常为同名坐标轴上的坐标单位，其对应坐标值叫基值坐标)之比叫坐标系数或变值系数，即：变值系数=变值单位/基值单位=变值坐标/基值坐标，或变值坐标=基值坐标×变值系数，此式称为变值公式，是进行坐标变换的算法依据。变值系数可为首项为一任意非0常数的连续型初等函数(CS法常取首项为1的整式多项式)，其中，首项(KA)对应于方箱体或等值部分，余项(R)对应于变值部分。当变值系数为1时，则变值坐标=基值坐标=等值坐标。在箱变坐标系中，同一坐标网线或网面上的同名变值坐标处处可变，而同名基值坐标或坐标单位数处处相等。为便于区别，基值坐标常用大写字母表示(如X,Y)；求变值坐标和基值坐标的函数叫变值函数和基值函数；相应的，可把求等值坐标的函数(即常规函数)叫等值函数。前两者的有关运算可叫变值运算。

广义的箱变坐标系也包括斜箱坐标系在内，CS法常用最简（或标准）正箱坐标系。其变值系数可有两种求法：基箱法和设定法。基箱法是先求出基箱体的长距、宽距和高距算式然后除以基长、基宽和基高(即对应函数的截距)而得；设定法是根据需要直接设定变值系数，此时，只要给定一组基距便可获得其对应的基箱体。当基箱体为直方体时可得常规的直角坐标系。最简箱体坐标系的常用变值系数见表1（右图）。

有了上述箱变坐标系，便可进行正箱体单元层的各类多元计算，下面重点说明比较常用的二元线性类算法，而对二元非线性类和三元类算法只做简单提示。

2.2 二元线性类单元层基本算法

设某一线性单元层(如图6,为一线性直次箱体，也可为线性直近箱体或线性曲箱体)的各类基本参数和各侧面的变化特征如表2。表中的正厚度和线品位方程可用常规数学方法求出，其中2号侧面的正厚度和线品位的两种方程完全等效，下划线者叫同基式(与1号侧面的基距相同)，无下划线者叫异基式(与1号侧面的基距不同)。试求其任意内插位置的正厚度、线品位、线品位积和任意内插区间的正面积、面品位积、面品位、体积、体品位积、体品位等基本算式。（接左面二图片）

3 二元非线性类和三元类算法提示

当单元层为非线性正箱体时(如图7，为一非线性直次箱体，也可为非线性直近箱体或非线性曲箱体)，其基本算法仍有上述九种。此时，其正厚度、线品位及坐标系数等均可为各种非线性变化，但为了便于进行有关积分运算，常可采用方次较高的整式多项式。各类基本参数和各侧面的变化特征如表3，其中，正厚度和线品位变化均以二次抛物线为例。（接右图）

以上二元和三元类算法均属变值运算，自变量的取值均为对应的基值坐标，故当需要自变量的实际位置(变值坐标)时，应将其对应基值坐标乘以对应变值系数。

4 合并类基本算法

合并类算法可有简易近似合并与变值精确合并两种基本算法，简易近似合并算法是将合并后的单元面和单元层独立进行有关运算。变值精确合并算法是利用原有基本算式进行相应的精确运算。变值合并算法(为变值函数所特有，是对常规加减运算的扩展)有同基与异基之分，同基算法与常规的加减运算规则相同，异基算法则需依据变值函数的基本性质(变值函数的自变量与基距同时扩大或缩小非0倍数，其值不变,与分数基本性质类似)进行适当变换(此时基值单位和变值系数则应扩大或缩小相应的倒数倍数)，从而使异基函数变为同基函数以便进行有关合并运算。合并类算法可有两种：变值合并运算(变合运算)和变值合并积分运算(合积运算)。这里以一元异基合并为例作一简要说明(同基合并已包含其中)。（接右图）

上式的积分与求和运算顺序也可互换。当合并前的各单式为厚度类或断面类算式时,则可利用上式进行断面类或块段类的同值同步精确合并。

以上两种变值合并运算常可用于将单样面和单样层变为复样面和复样层，或将原为斜箱体的储量块段先分解变为正箱体然后进行合并复原的精确计算等。

上述变合与合积运算均为一元类变值合并算法，当为二元时，则应将对应的长距和宽距变量同时进行通基变换。这时还应特别注意对应变值系数的求法：先对变值系数的自变量进行通基变换，然后再乘以该自变量的通基系数。进而按照二元法求出对应还原系数。

应当注意的是，虽然变值合并后的自变量取值为同一基值坐标，但对应于合并前的实际位置却不相同，因此，合并前的实际位置等于统一的基值坐标乘以各自通基后的变值系数。

以上变合与合积运算适用于合并后的自变量采用同值同步运算的有关情形，当自变量不需采用同值同步运算时也可不必进行通基变换。

5. 结语

上述方法适用于一般矿产的各类储量计算。在实际工作中，可根据实际需要和已有资料成果合理划分单元面和单元层，灵活选择相应算法进行各种内插计算、误差比较等。一般来说，当正厚度和线品位为线性变化时可用线性类算法，为非线性类变化时可用非线性类算法；当单元层为泛柱体或精度要求不是很高或只需完整内插计算时可用一元类算法或简易合并算法，当单元层为正箱体或精度要求较高或需求部分内插厚度、矿柱或矿块时可用二元或三元类算法或变值合并算法；当只求内插结果时可用正算，需求内插位置时可用反算；进行矿山设计与开采时可采用分解与合并算法等。具体应用时，只需将工程或样品位置及其对应正厚度、线品位或正面积、面品位等常规参数代入相应算式便可快速实现各类精确定位计算，若要计算矿石重量只需将体积乘以矿石体重即可，若要计算某一组分的重量只需将对应的体品位积乘以矿石体重或容重即可。由于该法的单元面和单元层直接对应于各种矿体断面和块段的地质特征，故其用法简便，易于保证用法精度；其被积函数直接来源于各类成果资料的精确表达和精确变换，加之各类积分运算均属精确算法，而且,均为多项式的一次性简单运算,从而确保了运算过程的保真度和算法精度及简便性。其中，一元法为高精度近似算法，多元法为精确算法。经反复验证，当正厚度和线品位均为中等变化时，其单块段体品位积的算法精度一般可比传统方法提高10～30%左右或更高（如品位变化较大的顿锥体块段）。

该法不仅适用于一般固体矿产的各类储量计算，更可广泛用于其它行业或领域中的各类有关问题。其中的箱变坐标系、变值函数、基值函数和变值运算等变值方法虽然只是改变一下坐标单位，所需基础知识也并不高深，但却从根本上揭示了某些带有普遍性的数学规律。应用该法不仅可使广泛存在的各种扭面及其有关的各类疑难问题迎刃而解，而且将使常规的数学空间扩展为非线性不均匀扭曲有界正负空间，也将使各种常规函数与图象的等值运算和静态对应扩展为各种变值函数与图像的变值运算和动态对应等。不仅如此，上述变值方法还可再次扩展为变基等值和变基变值方法(变基是指同名基值单位处处可变，可将其视为沿坐标轴做变速运动的速度，变基时的基值坐标则为变速运动距坐标原点的路程（可对应于膨胀与收缩空间）；相应地，常规方法和前述变值方法可叫等基等值方法和等基变值方法，此时，可将基值单位视为做匀速运动的速度，等基时的基值坐标则为匀速运动距坐标原点的路程)以及其它种类的变值坐标系与相应变值函数等，从而更能揭示物质空间的相对性、复杂性和多变性以及时空之间的动态对应等客观世界的根本规律。如此等等都将从根本上扩充了现代数学的基石，如同实数是对有理数的重大扩展一样将是对现代数学的重大扩展，其推广应用将有可能引起现代数学及其相关学科在思维观念、表达方式、研究方法、应用领域等方面的某些重大突破或变革，其前景将不可估量。