定义({a.b}[a.b]的意义 性质)

方程与不等式(直接 间接)

运算(公式 y=A(wx+v)modb+z（A>0,v>0) 微积分)

应用区域

例题(方程与不等式 运算 应用)

定义

形如y=a{x/b}(b≠0)的函数叫做余数函数，即x除a的余数。也记做

xmodb，读作x余b。

{a.b}[a.b]的意义

{a.b}是指a.b的小数部分；[a.b]指a.b的整数部分,a.b={a.b}+[a.b]

若a.b ≧0,则{a.b}=0.b,[a.b]=a

若a.b ≦0,则{a.b}=1-0.b,[a.b]=a-1

性质

　b>0　b<0

定义域　 x∈(-∞,+∞)

值域　 y∈[0，b)

增减性　在[kb,(k+1)b)增　在[kb,(k+1)b)减

过定点　 （0，0）

奇偶性　 f(-x)=b-f(x)是非奇非偶函数

图像

组成　fe(x)=x-eb　fe(x)=eb-x

周期　 T=b

方程与不等式

直接

xmoda=c

x=ka+c(k∈Z)

xmoda>c

ka+c<x<(k+1)a(k∈Z)

xmoda<c

ka<x<ka+c(k∈Z)

间接

1、axmodb+c=0

设xmodb=y转化成ay+c=0求解。

2、axmodb+cxmodb+d=0

设xmodb=y转化成ay+cy+d=0求解。

3.

∑e=1a1ex1modb =c1

∑e=1xa2ex2 modb=c2

……

∑e=1anexnmodb=cn

设xemodb=ye转化成

∑e=1a1e y1=c1

∑e=1a2ey2 =c2

……

∑e=1aneyn=cn

求解。

4.

∑e=1a1exmodb1 =c1

∑e=1xa2exmodb2 =c2

……

∑e=1anexmodbn=cn

设xmodbe=ye转化成

∑e=1a1e y1=c1

∑e=1a2ey2 =c2

……

∑e=1aneyn=cn

求解。

求得

ye=c'e时

得x=k[be]+[ce ]（[be]是be的最小公倍数）

运算

公式

(x+y)modb=(xmodb+ymodb)modb

(xy)modb =(xmodbymodb)modb

(/y)modb=(/ymodb)modb

(x)modb=(xmodb)modb

y=A(wx+v)modb+z（A>0,v>0)

图像：先把 y=xmodb的图像向左（v>0）或向右（v<0)平移/v/个单位，再把所得的点的横坐标缩短（w>1)或伸长（0<w<1)到原来的1 / w个单位长度，再把所得的点的纵坐标缩短（A>1)或伸长（0<A<1)到原来的1 / A个单位长度，向上（z>0)或向下（z<0)平移/z/个单位。

微积分

y=xmodb不可导；

∫xmodb=/2x+c

应用区域

（1）星期,b=7

（2）时间,b=24,12

（3）三角函数,b=360°∪180°

（4）循环的东西

例题

方程与不等式

例1：解方程：xmod4=0

解：x=4k(k∈Z)

例2：解不等式：4xmodb +3xmodb+3<0

解：a=4>0,又△=9-3×4=-3<0,原不等式的解集是☉。

运算

例：计算1/xmod3(x>1)

解：=x^-1mod3

=(xmod3)^-1

应用

例1：今天是星期二，再过12天是星期几？

=(2+12）mod7=14mod7-=0

再过12天是星期日。

例2：今天是11月12日，再过30天是几月几日？

=（12+30）mod30=12

再过30天12月12日

例3：会议23：30开始，开了2h,几时结束？

=(23.5+2)mod24=1.5

1：30结束