一元多项式的定义

一元多项式的相关概念(一元多项式的次数 一元多项式的相等 一元多项式的恒等)

一元多项式的定义

设a0，a1，a2，…，an-1，an都是数域F中的数，n是非负整数，那么表达式

anx +an-1x+…+a2x +a1x + a0（an≠0） (1)

叫做数域F上一个文字x的多项式或一元多项式。在多项式（1）中，a0叫做零次多项式或常数项，a1x叫做一次项，一般，aix叫做i次项，ai叫做i次项的系数。一元多项式用符号f(x)，g(x)，…来表示。

一元多项式的次数

一元多项式的相关概念

一元多项式的次数

anx叫做多项式：

anx +an-1x+…+a2x +a1x + a0（an≠0） (1)

的最高次项或首项。an称为首项系数，非负整数n叫做多项式（1）的次数。

最高次项是零次项的多项式，即a(a≠0)的次数为零，叫零次多项式。

系数全为零的多项式没有次数，这个多项式叫零多项式，零多项式总可记为0。

如a+b是关于a的一次多项式；3x+2x－5是关于x的二次多项式；x+y是关于x的三次多项式。

一元多项式的相等

若是数域P上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么f(x)和g(x)叫做相等，记作f(x)=g(x).

如：1+0x+5x+0x=1+0x+5x=1+5x

而3+1x+2x=3+x+2x≠3+x+x

按上述定义可知：两个多项式

f(x)= a0+a1x+a2x+…+an-1x+anx

g(x) =b0+b1x+b2x+…+bn-1x+bnx

a0=b0，a1=b1，a2=b2，…，an-1=bn-1，an=bn

一元多项式的恒等

（1） 对于两个次数都不超过n次的多项式f(x)及g(x)，如果对于变数x的n+1个不同的数都有相同的值，，那么这两个多项式恒等。

（2） 如果多项式f(x)与g(x)对于变数的x的无限多个数都有相同的值，那么它们是恒等的。