§3 旋转曲面

一 定义： 曲线 C绕定直线 旋转一周所形成的曲面称为 旋转曲面 。其中C——母线，

——轴，与 垂直的任一平面与旋转曲面交成一圆——维圆，过 的任一平面与旋转曲面交成一圆——经线（子午线）

注 ：旋转曲面的母线不唯一，它的任一经线均是其母线。

二 方程：

设在直角系下，旋转曲面Σ的母线

C：

轴 ：

则 M（x,y,z）∈Σ〈═〉M在某一纬圆上〈═〉 （ , , ）∈C使 ⊥ ，且∣ ∣=∣ ∣ （ （ ， ， ）∈ ）

〈═〉 （1）

（x- ）X+（y- ）Y+（z- ）Z=0 （2）

且（ - ）2+（ - ）2+（ - ）2=（x- ）2+（y- ）2+（z- ）2 （3）

从（1）——（3）中消去 , , 得

H（x,y,z）=0

此即为旋转曲面Σ的方程

例 ：求直线 ： 绕直线 ：x=y=z旋转所形成的旋转面方程。

解 ：略。

三 坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转面方程：

1、设有 面上一曲线C：

当C绕z轴旋转时，设所得旋转面为Σ，则

M（x,y,z）∈Σ〈═〉 , , ，使 （1）

（ x - ）·0+（ y - ）·0+（ z - ）=0 （2）

且 x 2 + y 2 + z 2 = 2+ 2+ （3）

从（1）—（3）中消去 , , ，得

（i）F（± ，z）=0

此即为Σ的方程

同理，让C绕y轴旋转，所得旋转面方程为

（ii）F（y，± ）=0

若让C绕x轴旋转，不回得到新的曲面

2、与上述过程相仿，可求出 面的曲线C： ，

绕 x轴旋转，所得旋转面为

（ iii）F（x，± ）=0

绕 z轴旋转，所的到的旋转面为

（ iv）F（± ，z）=0

3、 面上的曲线C： 绕x轴旋转所得旋转面为

（v） F（x，± ）=0

绕y轴旋转，所得旋转面为

（vi）F（± ，y）=0

总结（i）--（vi）的知：

某一坐标面上的曲线C绕该坐标面上某一坐标轴旋转，所得旋转面方程可以这样求得：在C的方程中的给坐标面方程里，与旋转轴同名的坐标保留不动，而将另一坐标换为与旋转轴不同的二坐标的平方和的平方根。

例 ： 面上的椭圆

绕x轴旋转所得旋转面为

———旋转椭球面

绕y轴旋转，所得旋转面为

———旋转椭球面