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词条 协变微分
释义

在数学分析里,我们已有了一个函数的微分和导数的概念。 这一概念中, 微分的对象是一个纯量函数,其定义域是欧氏空间的一个区间,求导的方向就是坐标轴的方向(方向导数,梯度)。

在微分几何里,人们希望推广这个概念到一般微分流形上。首先求导(或求微)的对象从函数推广到向量场(就是向量丛的截面,如切向量场和余切向量场), 定义域则移到了整个流形上(不再是平坦的空间), 求导的方向可以是任何切向量的方向。 这样得到的导数就称为协变导数,其微分称为协变微分。

从局部上看,这样的导数和我们以前的偏导数相比多出了一堆修正值。这些修正值就是所谓的联络---这是近代微分几何最重要的概念。 粗略的讲,联络就是反映流形在外部大空间中看,所处的位置和弯曲程度。 但是,值得注意的是,我们定义的协变导数和协变微分实际上是内蕴的(就是说只和流形有关,与它的外部无关)。

如果是黎曼流形(就是有度量的流形),则可以为一定义一种联络,从而有了一种协变微分定义。

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更新时间:2024/12/23 17:26:43