定义

定义幂级数 f为：。其中常数 a是收敛圆盘的中心，cn为第 n个复系数，z为变量。

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大（），使得在 | za| < r时幂级数收敛，在 | za| > r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

计算

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：

ρ是正实数时，。

ρ = 0时，。

时，R= 0。根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

或者。复分析中的收敛半径

将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：

一个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。

到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数

没有复根。它在零处的泰勒展开为：

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 f(z) 在 ±i 存在奇点，其与原点0的距离是1。

简单的例子

三角函数中的正切函数可以被表达成幂级数：

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

一个更复杂的例子

考虑如下幂级数展开：

其中有理数 Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当 z=0 时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得

e1 = 0

的复数 z。设z= x+ iy，那么

要使之等于1，则虚部必须为零。于是有 y= kπ，其中 。同时得到 x= 0。回代后发现 k只能为偶数，于是使得分母为零的 z为2kπi的形式，其中 。

离原点最近距离为 2π，于是收敛半径为 2π。

收敛圆上的敛散性

如果幂级数在 a附近可展，并且收敛半径为 r，那么所有满足 |z a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

例 1: 函数 (z) = (1 z) 在z= 0 处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例 2: 函数 g(z) = ln(1 z) 在z= 0 处展开的幂级数收敛半径为1，在z= 1 处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数 (z) 是 -g(z) 的复导数。

例 3: 幂级数

的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上收敛。设 h(z) 是这个级数对应的函数，那么 h(z) 是例2中的 g(z) 除以 z後的导数。 h(z) 是双对数函数。

例 4: 幂级数

的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

开放分类：

数学、高等数学