等价关系(定义 性质)

商空间(商空间的运算 商空间的性质)

等价关系

定义

设V是F-线性空间，W是V的一个子空间，对于任意的α，β向量属于V，称α与β关于W等价，当α - β属于W。

写作

或写作 β = α + W

性质

（1）反身性 a～a

（2）对称性 若a～b 则 b～a

（3）传递性 若a～b b～c则a～c

商空间

设V是F-线性空间，W是V的一个子空间。

将集合K称为V为关于W的商空间(商线性空间)，当K={α + W | α 为V中的一个向量}。

记为K = V / W

商空间的运算

和：（α + W）+（β + W）=（α + β）+ W

证明 a1 = α + W ; a2 = β + W,即 a1 - α 属于W ，a2 - β 属于W。 由于W为线性空间 故 （a1 - α）+（a2 - β）也属于 W ，

（a1 - α）+（a2 - β）=（a1 + a2）- （ α + β ）属于W

即 a1 + a2 = (α + β) +W

数乘：k(α + W)=kα+W .证明类似和。

商空间的性质

商空间及上述定义的运算构成了一个线性空间。

V是一个n维线性空间 W是V的一个r维子空间 则V/W 为 n-r 维空间。