一、圆面积公式

关于圆面积的推导，我们在初等数学曾进行过基本的解析。即将圆整体进行对半分割，再使半圆各析分成若干个的锯齿形三角形，然后对半圆隔空相合，即得得出一个以半径R为高、半周S=πR(π为圆周率)为底边的平行四边形，故可得S=πR2。

二、圆面积的三角函数推导式

下面利用三角函数对圆面积公式进行简单的推导。根据圆曲线的基本方程：X2+Y2=R2,可得Y=√(R2-X2),由此得出圆面积公式的微积分表示为：S=∫√(R2-X2)dX。

欲解该式，我们可利用三角函数做如下解析：设立平面坐标系，以原点为圆心，则可知X=Rcosθ，Y=Rsinθ,由此带入方程式中，得：S=∫RsinθdRcosθ。

由dcosθ=-sinθdθ得，S=∫R2-sin2θdθ,

化简可为：S=∫R2[cos2θ/2-1/2]dθ，因三角函数值域仅在[0,1]，

所以公式应为：S=∫R2(1/2-cos2θ/2)dθ。

求解可得：S=R2(1/2∫dθ-∫cos2θ/2dθ)，

因末项积分可视为一个常数C,所以原式化为：S=R2∫1/2dθ+C,即S=R2.θ/2+C,

令θ=0时，且S= 0,故C=0,

即化简后为:S=R2.θ/2。

当θ∈(0,2π),即得S=πR2。证明完毕。