定义 当一个数可以被写成含有理系数的多项式方程的根的形式时，不管这个数是实数还是复数，则这个数都可以被定义为代数数。否则，就是超越数。这就是说，如果存在非零的有理数 使得方程 成立，我们就说式中的 是一个代数数。而当 为一个超越数时，这个数就不是任何一个含非零的有理数系数的多项式方程的根。假如a,b都是有理数，这等式不能成立，因而对于这种不是底a的幂的数b，其对数应当恰如其分地命名为超越数。”

超越数的意义(超越数与代数数的不同 了解超越数)

历史版本(一、 二、)

超越数的意义

证明某些数是超越数有着重大的意义，比如说π的超越性的证明就彻底地解决了古希腊三大作图问题中的化圆为方问题，即化圆为方是不可能的。判断某些给定的数是否超越数实在是太困难了，为了获得上述结果，一个多世纪以来，数学家们付出了艰苦的劳动。即便如此，这个领域仍旧迷雾重重。比如说，现在人们仍然无法断定像e+π和这样的数到底是代数数还是超越数。

超越数与代数数的不同

超越数与代数数有着明显的不同，甚至连运算法则也有区别。比如说，对于代数数成立的加法和乘法消去律，对于超越数来说就不成立。举个例子，如果对三个超越数a，b，c有下式成立：a+b=a+c但b=c却不一定成立。类似地，对于这三个数，如果下式成立：a×b=a×c但b=c也不一定成立。

了解超越数

在数学的世界里，有什么事物是确实存在的呢？对现实世界来说，也许可以说「我」等等是绝对存在的。可是对数学的世界来说，确实存在的事物其实是「无」。这有点象宗教和哲学的思维方式，总而言之就是说空集合φ(或 {})是存在的。也可以用0取代空集合，既是说0是存在的。

那么1又如何呢？让我们考虑一下，把空集合作为其元素的集合{φ}。在这里可以说。

Φ ≠ {φ}

这时因为上式的左边是不包含要素的集合，而右边是包含要素的集合。由此可见存在0以外的事物，把它定为1。也就是说。

1 = {0}

上式可变成。

1 = 0 ∪ {0} ={0} ．．．．(1)

扩张(1)式可得到另一个存在。也就是说按下式定义2。

2 = 1 ∪ {1} ．．．．(2)

利用式(1)，式(2)的右边可写成下式。

= 0 ∪ {0} ∪ {0 ∪ {0}} ={0} ∪ {{0}} = {0,{0}} ={0,1}

也就是说，2是包含2个要素的集合。同样的可定义3。

3 = 2 ∪ {2} ={0,1,2}　．．．．(3)

在这里想说如上类推定义自然数n。可是以上说法的一般化，在逻辑上并不是那么简单。

上面的3有以下的性质。 （T）(∀x)(x ∈ 3 imp x ⊆ 3)

（C）(∀x)(∀y)(x ∈ 3 and y ∈ 3 imp x ∈ y or x=y or y ∈ x)

因为3={0,1,2}，所以从下式可以明白3有以上的性质（T）和（C）。

关于（T）：0 ⊆ 3, 1 = {0}⊆ {0,1,2}=3, 2={0,1} ⊆ {0,1,2} = 3

关于（C）：如果x ∈ 3 and y ∈ 3 那么 (x=0,1 or 2) 且　(y=0,1 or 2)。X与y共有九组合，这所有的组合都满足条件（C）。

拥有（T）和（C）两个性质的集合称为序数(ordinal number)。 （T）(∀x)(x ∈ X imp x ⊆ X)

（C）(∀x)(∀y)(x ∈ X and y ∈ X imp x ∈ y or x=y or y ∈ x)

从以上可知0，1，2，3都是序数。在这里虽不做证明，如果X是序数就可以说0 ∈ X。也就是说序数中最小的是0。只要不是X=0，就可以说1 ∈ X。意思就是，序数中第2小的是1。再下一个是2，接着是3，4，5，...。

0,1,2,3,... (因为自然数通常是从1开始的，所以在这里称之为广义自然数，extended natural number。在不发生混乱的情况下，有时也把广义自然数仅称为自然数。)以外还有怎样的序数呢？ 实际上所有的广义自然数NAT都是序数。理由是可以如下解释（T）。

如果x ∈ NAT，那么x={0,1,2,...,x-1}。因此x ⊆ NAT (={0,1,2,3,.....})。

另外也可同样解释（C）。

也就是说(广义)自然数全体的集合也是数。这个看起来奇怪的事是成立的。

现在把式(1)一般化，考虑一下以下的映射。

succ X = X ∪ {X}

这个映射是求集合X的下一个集合。一般如果X是序数,那么表示它下一个的succ X也是序数。

succ NAT = NAT ∪ {NAT}

上式表示序数NAT的下一个序数。也可以把它写为下式。

NAT + 1

可以证明任意2个序数A和B之间有以下的关系。 A ⊆ B または B ⊆ A

由上可知序数的全体构成集包含(set inclusion)关系，是良序集合(well ordered set)。

2个序数A,B的关系为 A ⊆ B

的时候，写为下式。

A ≦ B

即是说A小于B,或B大于A。因而可以说

0 ≦ 1, 1 ≦ 3, 3 ≦ NAT

。

另外序数中比NAT大的序数和一般的有限的数不同，称之为超越数(transfinite number)。NAT+1也是超越数。

历史版本

一、

历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（J.Liouville,1809~1882）,他于1851年构造了一个数：L=1/10+1/10^2!+1/10^3!....这个无限小数后来被称为“刘维尔数”。刘维尔成功地证明了这个数是一个超越数。在“刘维尔数”构造出来之后二十多年，数学家康托证明了：所有代数数的集合是可数的，即代数数的个数与自然数一样多！在此基础上，康托根据他的集合论中的另外一个结论——实数集是不可数的，得知复数集也是不可数的，因而进一步得到一个结论：必定存在不是代数数的复数，因此超越数必定存在！继刘维尔之后，数学家们为了证明某些具体的数的超越性付出了种种努力：1873年，法国数学家埃尔米特（C．Hermite，1822～l901）证明了自然对数的底e=2．7182818……是超越数。1882年，德国数学数学家林德曼（Lindemann，1852～1939）证明了圆周率π=3．1415926……是超越数。

二、

J.刘维尔开创了对超越数的研究，他发现无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数,例如[78-22]对=2,3,…都是超越数。早在1844年以前的一个世纪里，对无理数的研究已成为一个注意焦点。1744年,L.欧拉证明了自然对数的底e是无理数。1761年，J.H.朗伯证明了圆周率π是无理数。

1873年，C.埃尔米特证明了e是超越数,从而使超越数论进入一个新阶段。1882年,F.von林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了 是超越数，从而解决了古希腊的“化圆为方”问题。

19世纪超越数论的最高成就,是林德曼-外尔施特拉斯定理:如果,,…,是两两不同的代数数，,，…,是非零代数数，则

[79-01]　(1)由此可以导出，如果，,…,在无理数域上线性无关，则[79-02]代数无关（即它们不适合任一其系数为有理数的多项式方程）。由(1)可知，如是非零代数数,则sin，cos，tan都是超越数；如是不等于0和1的代数数，则自然对数ln是超越数。

1900年,D.希尔伯特提出的23个问题中的第7问题是：如果是不等于0和1的代数数，是无理代数数，那么是否超越数？D.希尔伯特曾预言，这个问题的解决将迟于黎曼猜想和费马大定理。A.O.盖尔丰德于1929年证明了：若是不等于零和1的代数数,是二次复代数数，则是超越数,[kg2]特别地,[79-03]是超越数。P.O.库兹明于1930年把这个结果推广到是二次实代数数的情形,特别地,[kg2][79-04]是超越数。1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德独立地对希尔伯特第7问题作出了肯定回答,此即所谓盖尔丰德-施奈德定理。由此可知，若是正有理数，则常用对数lg不是有理数，便是超越数；更一般地,对非零代数数,,,,若ln,ln在上线性无关,则

[79-05]

1966年A.贝克把这个结果推广到任意多个对数的情形,证明了下述重要结果:若,,…,是非零代数数，且ln,…,ln在上线性无关，则1,ln,…,ln在所有代数数所成的域上线性无关。其推论有:①若代数数的对数线性组合（其系数为代数数）不等于零，则必为超越数。②若,,…,,,,…,是非零代数数,则[79-06]是超越数。③若 ,,…,是不为0和1的代数数，,,…,是代数数,且1，,,…，在上线性无关，则[79-07]是超越数。A.贝克的理论还有定量形式，对数论许多分支有着重要应用。例如，第一次对几类很广的不定方程给出解的绝对值的有效上界，以及用以定出所有类数为 1和 2的虚二次域。前者是对于希尔伯特第10问题的肯定方面的实质性的贡献。1970年A.贝克获费尔兹奖。

代数数的有理逼近是超越数论的重要课题（见丢番图逼近）。由林德曼－外尔施特拉斯定理发展而成的西格尔-希德洛夫斯基理论,对于证明一类适合线性微分方程组的幂级数的值的代数无关性，建立了一般的方法。例如，令

[79-13]

[79-14]若是异于负整数和[79-09]的有理数，则对于任何非零代数数，()和()代数无关。

超越数的测度理论是超越数论的又一个重要内容。1874年，G.康托尔引进了可数性的概念，而导致了“几乎所有”的实数（复数）都是超越数的结论。1965年，..普林茹克证明了K.马勒尔在1932年提出的猜想：对于几乎所有的实数任意的正整数 和正数，至多有有限多个次整系数多项式()，使得[79-10]其中是()的诸系数的绝对值的最大值。

超越数论的最新发展使用着来自交换代数、代数几何、多复变函数论、甚至上同调理论的方法，正处于活跃之时。许多著名问题,例如,沙鲁尔猜测：若复数,…,在[kg1]上线性无关,则由[79-11]在上生成的域的超越次数至少为，及其特例关于e和的代数无关性（甚或看来似乎容易得多的e+的超越性），以及欧拉常数 [79-12]的超越性的猜测，至今都未解决。