超越积分(通常也称为不可积),就是说这个积分的原函数不能用我们所学的任何一种函数来表示.如∫e^x²dx，但如果引入新的函数erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么该函数的积分就可表示为erf(x)+c. 对于一些积分,如果不引入新的函数,那么那些积分就有可能不可积,而且这种情况还会经常遇到.因此对于一些常见的超越积分,一般都定义了相关的新函数.

下面就介绍几个常见的超越积分(不可积积分)

1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)

2.∫(sinx)/xdx

3.∫(cosx)/xdx

4.∫sin(x^2)dx

5.∫cos(x^2)dx

6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)

7.∫lnx/(x+a)dx(a≠0)

8.∫(sinx)^zdx(z不是整数)

9.∫dx/√(x^4+a)(a≠0)

10.∫√(1+k(sinx)^2)dx(k≠0,k≠-1)

11.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)

以后凡是看到以上形式的积分,不要继续尝试,因为以上积分都已经被证明了为不可积积分.但是要注意的是,虽然以上积分的原函数不是初等函数.

但并不意味着他们的定积分不可求,对于某些特殊点位置的定积分还是有可能算出来的,只不过不能用牛顿-莱布尼茨公式罢了!

比如∫[0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2,此处的积分值就是用二重积分和极限夹逼的方法得出的,而且只能算出(-∞,+∞)或是(0,+∞)上的值,其他的值只能用数值方法算出近似值.